156 - Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.2026

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
Plan (~50 items): I) Outils de réduction 1) Éléments propres - > def, ex 2) Polynômes d'endomorphisme remarquable - > def polynôme minimal, ex, prop spectre = racine poly min, def poly caractéristique, prop spectre = racine poly carac, ex avec une matrice II) Trigonalisation 1) Def et critère -> Def, thr trig <-> poly carac scindé, appli : cayley Hamilton, ex, trig <-> poly min scindé <-> poly annulateur scindé, rq : sur K algébriquement clos, u est trigo, autre item 2) Utilisation de sous espace stable -> Prop : F stable alors poly min / carac de l’endomorphisme induit divise poly min / carac, coro : u trig => u restreint à F aussi, prop : u et v commute => Sous esp propre stables, def co-trigo, thr co-trigo III) Nilpotence 1) Def et critère -> Def nilpotent, prop poly carac et min d’un nilpotent, prop spectre et trace d’un nilpotent, thr sur K algébriquement clos nilp <-> sp ={0}, thr critère de nilpotence, ex : block de Jordan 2) Réduction de Jordan -> Prop u nilp <-> transpose u nilp, thr réduction nilp (DEV), thr réduction Jordan, appli M matrice semblables à sa transposée, ex sur deux matrices IV) Dunford et calcul de puissance 1) Décomposition de Dunford -> Thr Dunford (DEV), ex décomposition des matrice 2 x 2 trigonalisables, def exponentielle, appli exp(u) = exp(d) exp(n), thr decompo de Dunford de exp(u) (DEV) et u diag <-> exp(u) diag 2) Calcul de puissance et d’exponentielle -> prop calcul des puissances de d avec les projecteurs spectraux, prop calcul des puissance de u avec u=d+v binôme de Newton et projecteur spectraux, ex, thr calcul de exp(u) avec projecteur spectraux, ex détaillé --- Présentation : 5'50'' Développement : 14’30’’' --- Jury 3 : Définissez transpose u Moi : tu : phi -> u o phi Jury 2 : me fais comprendre que je me trompe Moi : Oui pardon c’est tu : phi -> phi o u Jury 2 : Et si u : E -> F ? Moi : C’est pareil avec tu : F* -> E* Jury 3 : pourquoi on l'appelle transposé ? Moi : le matrice transposé de u dans une base b est la matrice de tu dans la base b* Jury 2 : J’ai pas compris ce que vous dites en 3e colonne Moi : je réexplique Jury 2 : me coupe, si j=2 ici on a problème ca marche pas ce que vous dites Moi : [réfléchis] Ah oui pardon on doit évaluer en u ^ (q-1-j) Jury 1 : Pourquoi vous cherchez un sous espace de dimension maximale (ici de dimension l'indice de nilpotence de u)? Moi : On pourrait sûrement faire autrement, il faut surtout trouver deux sous espace stables par u supplémentaire dans E Jury 1 : D'accord Jury 3 : Dans votre plan vous mettez définition / proposition polynôme minimal, pourquoi ? Moi : C'est le générateur unitaire de l'idéal annulateur de u, car idéal de K[X] principal Jury 3 : Pourquoi vous le prenez unitaire ? Moi : Pour qu’il soit unique Jury 3 : Pourquoi il existe ? Moi : Ah vous voulez dire pourquoi l'idéal n’est pas vide Jury 1/2/3 [en cœur en souriant] : vide c’est pas le mot Moi : pardon je voulais dire non nul Moi : dans L(E) la famille (Id, u,... u^(n^2+1)) est liée car l'espace est de dim n carré, donc on a une combinaison linéaire de ces vecteurs, ie un polynôme annulateur non nul Jury 2 : dim(L(E)) = ? Moi : n carré Jury 2 : et vous avez combien de vecteur dans votre famille ? Moi : oups oui il faut s'arrêter à u^(n^2)) on en a un de trop Jury 1/2/3 [rigolent] : oui après l'argument reste valable Jury 2 : Et le polynôme caractéristique comment vous le définissez ? Moi : (aie on l’a fait en début d'année j’ai complètement oublié) On repasse par les matrices, on a XI-A élément de Mn(K[X]), j'explique des choses plus où moins incohérentes Jury 1, 2 : m’aide Moi : Il faut qu’on passe par le corps des fractions de Mn(K[X]) Jury 1 : Quand est ce que c’est intègre Mn ? Moi : la plupart du temps ce l’est pas Jury 1 : si n = 2, qu'est ce qu’on a dans le cadre de votre leçon ? Moi : les nilpotents non nuls, donc Mn n’est pas intègre si n > 1 Jury 1 : donc c’est pas ca (m’aide encore) Moi : C’est Mn(K(X)), donc on voit XI-A à coefficient dedant le déterminant est bien définit, le polynôme caractéristiques aussi car on voit que la formule du déterminant est ok Jury 2 : Et alors comment on définit le polynôme caractéristiques pour u ? Moi : On montre que ca dépend pas de la base choisie, si A = P^-1BP les poly caractéristiques de A et B sont les même Jury 1 : Oui mais si P inversible dans GLn(K) pourquoi elle l’est dans GLn(K(X))? Moi : Elle est à coefficient constant (je dis quelque chose dans ce style) Jury 1,2 [semble acquiescer mollement] Jury 3 : Vous dites M semblable à sa transposée, comment vous faites ? Moi : On considère sa réduite de Jordan, on range les bloc pour avoir soit des bloc de taille 1 avec juste une valeur propre, soit des bloc avec une vp sur la diagonale et des 1 sur la diagonale inférieur Jury 3 : Hoche la tête Moi : si le bloc est de taille 1 c’est bon, sinon (j'explique le 2e cas, elle est convaincue) et puis on recolle les matrices de passage Jury 3 : comment vous les recollez Moi : en diagonale par bloc Jury 1 : Qu’est ce que vous pouvez dire de la topologie de l'ensemble des nilpotents ? Déjà est ce que c’est une algèbre ? Moi : (réfléchis) non la somme de 2 nilpotents l’est probablement pas s’ils commutent pas, par exemple on peut prendre une matrice avec un 1 en haut à droite et une 2e avec 1 en bas à gauche Jury 1 [moyen convaincu] Moi : Ou plutôt des 1 sur les extra diagonales Jury 1 : D’accord, est ce que c'est un fermé ? Moi : Alors on pourrait essayé de l'écrire comme pré-image de 0 par une application continue, j'écris f l’application qui à M associe son polynôme caractéristique et Nn = f^-1 ( X^n) Jury 1 : Pourquoi c’est continue ? Moi : Dans la formule du déterminant on voit que f dépend polynomialement de chaque coefficient de la matrice Jury 1 : Et est ce que c’est un compact Moi [aucune idée] : Il faudrait montrer que c'est un borné, on pourrait borner la réduite de Jordan de chaque nilpotents avec la norme qui fait la somme de tout les coefficients de la matrice (en valeur absolue) Jury 3 : Oui mais vous avez une matrice de passage Moi : Ah oui, on peut prendre par équivalence des normes une norme multiplicative (je ralentis en parlant, je me rends compte que ca sera pas borné) Jury 2 : Pour chaque réduite vous avez une infinité de matrice semblable Moi : Oui ca marche pas Jury 1 : Si on prend une matrice nilpotente N, qu’est ce qu’on peut dire de 2N Moi : elle reste nilpotente Jury 1 : Donc vous avez toute une droite de matrice nilpotente Moi [je vois pas le rapport] : On peut donc construire une suite de matrice nilpotente non bornée Jury 1 : Oui enfin vous avez une droite Moi [j’étais buté je voulais ma suite non bornée] Jury 3 : comment vous définissez l’exponentielle Moi : on munit L(E) d’une norme d'algèbre, on montre que la série converge normalement Jury 1 : On fait un exercice, soit A matrice trigonalisable et f : M -> AM-MA. Est ce que f est trigonalisable ? Moi : (je répond instinctivement) Oui c’est sûr. On a P un polynôme annulateur de A. Donc il annule g : M -> AM Jury 1 [N’acquiesce pas] Moi : Je fais le détail. Donc g est trigonalisable. Pareil pour h : M -> MA. Maintenant on a g et h qui commutent car g o h =... =h o g. Donc g, h co trigo et f trigo Jury 1 : Et si A nilpotente ? Moi : f nilpotente aussi par binôme de Newton Jury 1 [est d’accord et discute avec jury 2 ] Jury 1 : C’est quoi la décomposition de Dunford de f ? Si on a celle de A Moi : J’écris si A = D + V on a f(M) =... Moi : Je renomme f par f_A, après calculs on a f_A = f_D + f_N. Pour la même raison qu’avant f_D diagonalisable et f_N nilpotent Jury 1 : Il faut montrer quoi d’autre ? Moi : Ah oui il faut que ca commute, je commence le calcul Jury 1 : On va s'arrêter là mais oui c’est bien sa décomposition de Dunford Moi : Je les remercie Jury 3 : Me souris

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Jury 1 : Homme très sympa qui m’a expliqué l’oral, il posait beaucoup de questions Jury 2 : Homme sympa Jury 3 : Femme qui me souriait de temps en temps et était hyper sympa Jury très bienveillant, m'aidait à trouver la réponse

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.
J'ai eu un bon tirage, mais j’ai passé beaucoup de temps à choisir (mon coeur me disait corps finis car c’est trop bien (mais avec le recul on fait vite le tour je me suis dis), mais mon cerveau m’a dit endomorphismes trigonalisables) Je suis moyennement content de la leçon que j'ai présentée, car c'est pas une leçon qui m'intéresse beaucoup. Moyennement content du développement car je me suis trompé sur des trucs simples (transposé de u). Je suis très content du jury que j'ai eu.

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
J'étais jury 1, composé de deux hommes et une femme, le premier me fait entrer et m'explique les modalités, je fais mon développement parfaitement dans les temps et de manière très clair mais ils me posent pas mal de question sur le dev, pourquoi dans l'unicité d et d' commutent etc des choses classiques. J'ai fais l'erreur d'écrire la matrice A est scindé c'était une étourderie qui s'est glissé même dans le plan j'ai bien précisé ce à quoi cet erreur faisait référence, mais visiblement il n'arrivait pas à traduire le mot scindé en trigonalisable malgré mes minimums 3 explications donnés pendant l'oral. Une fois le plan revu et mes erreurs corrigés(Il faisait 43 degré dans la salle de préparation donc effectivement pas mal d'étourderie) le jury qu'on appellera l'énervé me pose une question, vous prenez u et v deux endos trigonalisables, si uv= 0 montrer que u et v sont co-trigonalisables, j'ai séché complet, le jury énervé me donne comme indications d'utiliser la notion \"géométrique\" de la trigonalisation alors la je sèche complet, de quoi veux t'il me parler?? Finalement il reformule, ca veut dire quoi en terme de sous espace stable de sous espace vectoriel etc, ha bah oui ca veut dire que dans la base de trigonalisation u(Fk) contenu dans Fk où Fk est composé des k premiers vecteurs de la base(pourquoi parler de géométrie sérieux). Une fois cela donné on a a peine le temps de reformuler que ca veut dire pour tout x dans E, x appartient a ker(Im(u)) et l'oral s'est terminé.

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
L'un des jurys, dès ma lecture du plan semblait être très agacé, ca a été une constante pendant tout l'oral même lorsque je donnais des bonnes réponses, je ne sais pas si son comportement était fais exprès, tout les gens de ma promo qui sont tombés dessus ont eu le même retour donc bon peut-être qu'il fait exprès. Il posait des questions assez incompréhensibles que même ses collègues avaient du mal à me reformuler. J'ai trouvé ca assez ridicule, surtout que les deux autres oraux ce sont très bien passés donc ne paniquez pas si l'un des jurys semblent vous haïr.

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.
Je ne m'attendais pas du tout à avoir un des jurys aussi cassant ca met vraiment pas de bonne humeur et ca donne pas du tout une bonne sensation mais les autres jours se sont très bien passés donc ne surtout pas perdre espoir. La préparation n'était absolument pas dans de bonnes conditions malgré les efforts des préparateurs qui sont très aidants et agréables, on était en pleine canicule avec parfois plus de 40 dans les salles.

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
I) Résumé du développement: A) Le développement: Après un blocage au milieu de la preuve, j'ai demandé au Jury si il était possible que je regarde mes notes. Il m'a alors retourné \"qu'ils seront obligé de le prendre en compte dans la notation\". J'ai décidé de ne pas les regarder. J'ai finalement réussi à résoudre mon problème et conclure, avec le soutient du jury. B) Questions sur le développement: 1) Pourquoi f∘g=g∘f ⇒ g(E_lambd) ⊆ E_lambd ? (où E_lambd est l'espace propre associé à la valeur propre lambd. de f) 2) Pourquoi le polynôme caractéristique de g|E_lambd divise le polynôme caractéristique de g ? 3) Pourquoi si f est trigonalisable alors f^t est également trigonalisable ? II) Questions du plan 1) Pourquoi un endomorphisme nilpotent et diagonalisable est nécessairement nul ? Pourquoi si u et v sont deux endo. nilp. qui commutent alors (u+v) est un endorm. nilp. ? 2) Montrer que le polyn. caract. de f divise le polyn. minimal de f a la puissance n=dim(E) 3) Nilp(Mn(R)) est fermé ? Compact ? 4) Exemple de matrice trigonalisable non diagonalisable ? De matrice qui est ni diagonalisable, ni trigonalisable ?

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Extrêmement bienveillante !

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
Question sur le développement : J=Jury,M=moi Le développement s’est bien passé (pas d’erreurs) et je l’ai terminé en 14 minutes. J : Comment vous vous assurez de l’existence d’une base de Vect(G) avec des éléments de G ? M : C’est le théorème de la base incomplète J : Vous avez dit que c’est le déterminant de Vandermonde mais ce n’est pas vraiment le cas ? M : J’avais oublié de « sortir » les lambdas pour effectivement avoir une matrice de type Vandermonde. J : Est ce que le résultat est vrai pour des groupes de Gln(Q) ? M : Hum… Bien que j’utilise le fait que tous polynôme est scindé je pense que le résultat reste vrai il suffit de faire tout ce que je viens de faire dans C qui est une extension de Q ? J : (pas vraiment) que pouvez vous dire des groupes de GLn(Q) et de GL(C) ? M : Ah oui effectivement un groupe de Gln(Q) est un groupe de Gln(C) donc le résultat est encore vrai ! (Il y avait aussi une petite erreur j’avais écrit 0^k=0 et j’avais oublié de dire k différent de 0) Questions sur d’autres points : Jury pose des petites questions sur les polynômes caractéristiques puis me pose une question que je ne comprends pas, il reformule je ne comprends toujours pas, je dis (de manière un peu hasardeuse)que le polynôme caractéristique est invariant par similitude… Finalement je crois que sa question était en gros de montrer que pour un endomorphisme son polynôme caractéristique est invariant par similitude. Je le fais sans difficulté en utilisant la définition du polynôme caractéristique (det(XIn-A)). J’avoue que cela m’a un peu surpris je ne comprenais pas ce qu’il voulait et j’ai du répéter 3 fois la même chose mais le jury était sympathique et n’a pas été agacé par cette difficulté de compréhension. Trois questions du même type Si u est nilpotent/trigonalisable/diagonalisable et on a F tq u(F)cF alors u restreint à F est encore nilpotent/trigonalisable/diagonalisable. M : Il suffit d’utiliser la caractérisation des endomorphismes par les polynômes. Diagonalisable : existence polynôme annulateur scindé à racines simples Nilpotent : polynôme caractéristique qui vaut X^n Trigonalisable : polynôme caractéristique scindé Questions sur le plan : J : Que pouvez vous dire de l’adhérence des matrices diagonalisable ? (c’était dans mon plan) M : Sur R et sur C ce sont les matrices trigonalisables J : Pouvez vous le montrer ? M : J’explique l’idée… J : Pouvez vous le faire vraiment ? Je galère un peu mais finalement ça va à peu près. J : Qu’est ce qu’un endomorphisme semi-simple ? (c’était dans mon plan) M : Un endomorphisme dont le polynôme minimal est sans facteur carré J : Oui mais une autre vision ? M : Ah oui la vraie définition c’est u est semi simple si pour F tq u(F)cF alors il existe un supplémentaire G tq u(G)cG. J : Mais du coup c’est une généralisation de quoi ? M : De la diagonalisabilité en effet u est semi simple ssi u est diagonalisable dans une extension mais je crois que cela est faux si le corps n’est pas parfait. J : Soit M,N deux matrices nilpotentes de même rang et de même polynôme minimal. Sont elles semblables ? M : Si leur indice de nilpotence est n oui par la décomposition de Frobenius (je ne voulais pas trop en parler car je ne maîtrise pas trop ça) J : Pouvez vous décrire les blocs obtenus ? M : Ah oui vu que c’est nilpotent on a des blocs avec que des 0 et des 1 J : Comment ils s’appellent ? M : Les blocs de Jordan Je donne des pistes (sans dire de bêtises) et il semble que ce soit l’idée mais le temps est écoulé.

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Le jury était plutôt sympathique. Ils étaient attentifs mais pas du tout cassant. C'était un oral sympathique !

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.
Pas de surprise, je maitrisais bien cette leçon (contrairement à la leçon 191).

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
D’abord quelques questions sur le développement : -Pourquoi est ce qu’on peut prendre une base de Vect(G) formée d’éléments de G ? On prend tous les éléments de G : c’est générateur et on extrait une base -Pourquoi Vect(G) est de dimension finie ? C’est inclus dans l’ev des matrices qui est de dimension finie -Préciser pourquoi nilpotent implique trace nulle -Ensuite ils ont essayé de ma demander si sur un corps autre que C la condition Tr(A^k)=0 pour tout k était encore équivalent à nilpotent Un sens est encore vrai (la trace est encore nulle si on est nilpotent car un nilpotent est trigonalisable quel que soit le corps) et ensuite j’ai essayé de chercher pourquoi l’autre sens ne serait pas vrai. Ils ont fini par me demander sur quel corps je pouvais me placer pour que la trace de In soit nulle alors que In est non nilpotente : j’ai répondu F2 pour les matrices de taille 2 par exemple. -Est-ce que je peux mettre tout groupe fini dans Gln (la question n’était pas posée aussi clairement mais j’ai bien compris ce qu’ils attendaient) J’ai répondu que oui par Cayley puis les matrices de permutation. Question sur le plan : -pourquoi si f trigonalisable l’endo induit sur un sous espace stable l’est aussi ? Le rapport du jury soulignait le fait qu’il fallait bien avoir compris ce point : le polynôme caractéristique de l’endomorphisme induit divise celui de u donc il est également scindé -dans mon plan j’ai énoncé la trigonalisation simultanée mais pour une famille finie d’endomorphismes, on m’a demandé si c’était important que la famille soit finie (non) et ce qui était important alors (qu’ils commutent 2 à 2) -Un autre moyen (que Dunford) pour calculer l’exponentielle de matrice (j’avais parlé de l’exponentielle de matrices dans mon plan) ? J’ai mis un peu de temps à comprendre ce qu’elle voulait me faire dire mais j’ai réussi à sortir les polynômes interpolateurs de Lagrange. -Un condition suffisante pour que si u et v sont nilpotents u+v le soit aussi J’ai répondu que si ils commutaient cela fonctionnait (c’était dans mon plan) -Ils ont ensuite essayé de me faire démontrer un proposition de mon plan à la main (j’avais essayé avant de donner un argument de dimension mais qui était un peu flou) : N=Vect(u, tr(u)=0) : étant donné une matrice de trace nulle ils voulaient que je le décompose en combinaison linéaire de nilpotents. Je n’ai pas réussi à aboutir -Un exercice : déterminer l’ensemble de P(u) de K[u] tels que P(u) soit nilpotent (u étant un endomorphisme fixé quelconque Je n’ai pas réussi à finir mais ils ont réussi à me faire dire des choses : c’est un sev (car les polynômes en u commutent) de K[u] donc de dimension plus petite que le degré du polynôme minimal de u

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Le jury était très gentil et encourageant, un des 3 était super enthousiasmé dès qu’il me posait une question et tous hochaient la tête dès que je commençais à dire quelque chose qui était bien pour m’encourager.

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Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
1) Questions sur le dev - Plusieurs questions pour préciser les objets introduits dans la démonstration (je crois qu'ils n'ont pas vraiment compris le dev, la faute à une présentation un peu brouillonne) - Pourquoi l'application qui à $M$ associe $M^n$ est continue? - Pourquoi $GL_n^{+}(\mathbf{R})$ est connexe par arcs? (que j'avais admis pour le dev) - Pourquoi l'application qui à une matrice inversible associe son inverse est continue? (utiliser la formule de la comatrice) 2) Questions sur le plan - Faire le lien entre les noyaux itérés et l'ordre de nilpotence d'un endomorphisme nilpotent - Soit E un espace vectoriel de dimension finie, $u$ un endomorphisme trigonalisable qui stabilise le drapeau $F_i$ et $g$ un isomorphisme. Quel est le drapeau stabilisé par $g \circ u \circ g^{-1}$? (c'est le drapeau $g(F_i)$). Quel est le principe très général derrière ce résultat? (c'est un résultat sur les stabilisateurs d'une action de groupe) - Est ce qu'il existe des matrices non trigonalisables dans $M_n(F_q)$ (une matrice est trigonalisable ssi son polynôme caractéristique est scindé, il suffit de choisir un polynôme $P$ de degré n qu'on ne peut pas scinder dans $F_q[X]$ et on considère la matrice compagnon de $P$) 3) Exercices - Soit $u$ un endomorphisme. Trouver l'ensemble des polynômes en $u$ qui sont nilpotents (si $\mu_u$ est le polynôme minimal de $u$ et $\mu_u = {P_1}^{\alpha_1} {P_2}^{\alpha_2}... P_k^{\alpha_k}$ est sa décomposition en éléments irréductibles de $K[X]$ alors l'ensemble de nilpotents de $K[u]$ est l'ensemble des multiples de $P_1 P_2 ... P_k$) - Trouver la dimension maximale d'un sev de $M_n(K)$ constitué de matrices nilpotentes (c'est $d = n(n-1)/2$, exhiber le sev des matrices triangulaires supérieures de diagonale nulle de dimension $d$, et montrer par un argument de dimension que s'il existait un sev de matrices nilpotentes de dimension strictement supérieure à $d$, il intersecterait de façon non triviale l'ensemble des matrices symétriques ce qui est absurde, puisqu'une matrice symétrique et nilpotente est nulle) - On suppose $K = \mathbf{C}$. Montrer que $u$ est diagonalisable ssi le seul polynôme en u nilpotent est l'endomorphisme nul (j'ai séché sur celle là).

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Un peu d'aide, neutres.

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
-Ils ne connaissaient visiblement pas le critère de nilpotence de cartan ( qui se trouve dans le beck) et ont même cru pendant quelques (longues) minutes que m'ont énoncé était faux et m'ont donc fait écrire l'énoncé au tableau jusqu'à se rendre compte qu'il n'y avait aucune erreur (ouf). Mon developpement s'est bien passé. Ils m'avaient demandé avant de me lancer si je pouvais, si le temps me le permettait, prouver le lemme dont je me servais à la fin. Après mon developpement je leur ai proposé de leur montrer, mais ils n'ont finalement pas voulu. Ils m'ont ensuite demandé comment il pouvait être utile concrètement ( j'ai dis que c'était un lemme important dans la théorie des algèbres de Lie) et ont demandé une version plus faible qui serait plus directement utile, j'ai donc dis qu'on en déduisait le fameux critère : si A tq pour tout k on a tr(A^k)=0 alors A nilpotent. Ensuite, j'avais marqué dans mon plan un exemple de matrice qui n'était pas diagonalisable dans R ( la fameuse (01)(-10)) sauf que j'avais oublié le - et que je n'arrivais pas à comprendre mon erreur. Ils ont donc voulu une interpréation de la matrice en terme géométrique pour que je vois les valeurs propres. (A la toute fin je me suis rendue compte que ah oui en fait elle est symétrique donc ce que je disais choquait...) Ensuite je ne me souviens plus clairement mais dans mon plan j'avais parlé de symétrie vectorielle et ils m'ont demandé de le representer et j'ai beaucoup buggé, n'arrivant pas à m'absoudre des symétries orthogonales. J'avais mis de la topologie dans mon plan alors ils m'en ont parlé et j'ai dis des enormes conneries mais m'en suis heureusement rendu compte avant la fin.

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Le jury était extremement sympathique. Malgré un membre qui était assez froid, les autres étaient sincèrement de bonne humeur mais c'était très agréable !

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.
Chose à savoir : on a droit à nos notes du temps de préparation pendant l'oral ! Pas pendant le developpement evidemment mais pendant la séance de questions.

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
Beaucoup de questions concernant le développement (donner la décomposition de Dunford d'une matrice donnée) puis sur l'exponentielle matricielle (les classiques décomposition de Dunford de l'exponentielle de u en fonction de celle de u, et montrer que l'exponentielle de u est dans K[u]. )

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Très sympathique et bienveillant. Si je bloquais, il me guidait et grâce à cela, j'ai toujours pu aboutir au résultats espérés.

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.
L'oral en général ne m'a pas surpris, ni sa préparation. Ce qui m'a surpris c'est l'organisation qu'il y a tout autour et qui peut donner le vertige pour le premier jour.

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
Petites questions sur quelques points du développement où j'étais allé un peu vite. Quelques questions sur le plan, puis deux exos. - Après Householder : comment on choisit $M$ et $N$ en pratique ? (j'avais mis la décomposition $D-E-F$ dans le plan mais pas dit grand-chose dessus) On veut quoi comme bonnes propriétés sur $M$ ? Comment on fait pour savoir si effectivement la méthode va converger ? (ben, on ne regarde pas $\rho (M^{-1}N)$ qui est horrible à calculer, donc on calcule juste des itérations de $x_n = M^{-1}(Nx_{n-1} +b)$ et on regarde si ça a l'air de converger... là, je me suis dit que mon développement, il était vraiment très très très utile, mvoyez). - D'après le plan on peut cotrigonaliser $f$ et $g$ s'ils commutent (et sont trigonalisables), est-ce qu'on a une réciproque ? - $f$ trigo $\Leftrightarrow$ $\chi_f$ scindé ; et pour le polynôme annulateur ? Comment on prouve le cas $\chi_f$, comment on modifie la preuve pour $\mu_f$ ? - Exo 1 : on prend (sic) la matrice $A$ suivante : $$ \begin{matrix} 1 \esperluette 1 \esperluette -1 \\ 0 \esperluette 4 \esperluette 1 \\ 0 \esperluette 0 \esperluette 9 \end{matrix} $$ Calculer ses racines carrées. Bon, ben la matrice est clairement diagonalisable, on voit bien à quoi ses racines ressemblent. On prend $R$ une racine, elle commute à $A$ puisque $A=R^2$ est un polynôme en $R$, et on travaille là-dessus pour montrer que $R$ est forcément de la bonne forme ($R$ est encore trigonale, puisqu'elle conserve les sous-espaces propres de $A$). J'ai perdu beaucoup de temps sur cet exo bidon, c'était pas beau à voir. - Exo 2 : on se donne $A$, $B$ telles que $A+\lambda B$ soit nilpotente en au moins $n+1$ valeurs distinctes de $\lambda$. Montrer que $A$ et $B$ sont nilpotentes. On regarde le polynôme caractéristique de $\chi_{A+\lambda B}$ ; à part pour le degré $n$, les coefs sont des polynômes en $\lambda$ qui ont trop de racines pour leur degré donc sont nulles. Après, il reste à évaluer en $0$ pour avoir la nilpotence de $A$, puis en factorisant $\lambda$ on récupère $B$ nilpotente.

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Pas bien dur, des trucs d'AL de petit taupin sur lesquels j'étais pas complètement au point. On m'a, là encore, pas mal aidé dès que je bloquais. Les trois membres du jury sont intervenus et étaient sympa.

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.
Les questions sur les méthodes itératives étaient beaucoup plus sympa que ce que je pensais, j'y connais pas grand-chose au fond mais j'avais de quoi répondre. Sinon, pas de surprise, pas trop de joie non plus parce que c'était pas ouf. Note : j'avais Risler dans mon jury, c'est dans son livre qu'il y a l'algorithme de Dunford effectif (que j'avais détaillé dans le plan), j'espère qu'il a kiffé.

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
Quasiment que des questions sur le développement et le plan. sur le développement, que je fais à partir de la décomposition de Dunford, Pourquoi l'exponentielle est un polynôme en la matrice ? Bah K[A] est fermé :3 Ouais mais pourquoi c'est fermé ? Donc bon c'est un EV de dimension finie Pourquoi l'inverse est un polynôme en la matrice ? Bah on utilise un polynôme annulateur, il a voulu que je lui fasse le calcul de 2 lignes au tableau Quel est le lien entre les valeurs propres de la matrice et celle de ça décomposition de Dunford ? En fait on cotrigonalise les deux matrices et vu que la nilpotente a des zéros sur la diagonale on conclut. Sur le plan, comment on montre le lemme des noyaux, pourquoi votre deuxième développement est dans le sujet, c'est vrai qu'au début c'est pas immédiat mais toute la démo repose sur une trigonalisation et un calcul que tu fait de la matrice trigonalisée, en quoi tr f^k =0 pour tout k est une caractérisation des matrices nilpotentes, démo que j'ai lu dans le FGN juste avant de passer, et divers autres trucs

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Le jury était très sympa, question moyenne assez classiques sur TOUS les points du développement, du coup assez content parce que j'étais au taquet =) Une question à la fin, un peu plus dur et des indications très bizarres 'quel est votre raisonnement mathématique préféré ?' qui me fait me poser la terrible question, toi membre du jury es tu constructiviste ? En l'occurrence il ne l'était pas

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.
ça s'est plutôt bien passé, j'ai répondu à quasiment toutes les questions, ils avaient l'air contents. A la fin, l'un m'a demandé si je connaissais une caractérisation géométrique de la trigonalisabilité, j'ai pas trouvé, il m'a parlé de drapeau. Le tableau était tout petit, et j'avais des craies, clairement heureusement que je suis passé sur un développement court. J'ai dépassé sur la défense de plan, ils m'ont arrêté à la seconde près sans me prévenir, mais vu qu'il me restait juste à présenter mon 2e développement, il m'a demandé de finir. Et une remarque qui m'a laissé perplexe 'Vous dîtes qu'une matrice est nilpotente ssi tr f^k =0 pour tout k, mis c'est faux, regardez pour In ça ne marche pas, beaucoup de candidats font l'erreur', je crois qu'il a vite compris que c'était n'imp' et qu'il devait confondre avec une erreur classique, parce que In c'est pas vraiment nilpotent, ou alors j'ai vraiment rien compris ...