127 - Exemples de nombres remarquables. Exemples d’anneaux de nombres remarquables. Applications.2026

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
J'ai eu des questions sur mon dev pour re détailler quelques passages mais vu que je suis lent à la détente ça a pris pas mal de temps. Sinon j'ai eu : Pourquoi Q(zeta_n) est bien le corps de décomposition de X^n-1 ? (je pense que c'est ça qui m'a plombé. J'ai pas répondu en 5 secondes donc ça leur a pas plu) vers quelle époque situez vous la découverte de l'irrationalité de √2, π et e ? (j'ai sorti une énormité) exo : essayer de montrer que e est irrationnel en utilisant le dev en série (je connaissais pas donc ça a pris du temps) exo (pas eu le temps) décrire Aut(Q(zeta_p))

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
aidant jsp je m'en fous hypocrite surtout

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.
ça s'est passé comme je l'imaginais, j'avais l'impression d'avoir pas trop mal réussi (lol). Mon plan était chargé (45 items) et le dev a été bien réussi, dans les temps càd 14min50 (lol). Mon conseil pour ceux qui me lisent : attention, le développement devient de plus en plus une façade. ce qui joue vraiment c'est les questions. Faites super gaffe aux questions liées au développement ça peut faire très mal comme vous pouvez le voir à ma note.

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
Questions sur le développement: - Comment savoir qu'une droite passant par deux points M(a,b) et N(a',b') a son équation de droite à coefficients dans a,b,a',b'? - Même question pour l'équation d'un cercle - Pourquoi l'ensemble des constructibles est un corps? Stable par racine carré? Questions sur le plan: - Pouvez-vous démontrer votre item: e est irrationnel? (je le fais en passant par l'écriture en série, c'est dans le Duverney) - Vous affirmez que l'ensemble des algébriques sur R est dénombrable, comment le montre-t-on? - Que peut-on dire de l'ensemble des décimaux? Je réponds que c'est un anneau, on me demande s'il est principal, j'ai la bonne intuition mais l'oral s'arrête.

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Jury neutre. La première question sur le développement m'a assez surprise et j'ai mis du temps à répondre ce qui m'a stressé pour la suite de l'oral, le jury qui m'a posé cette question (et qui a mené la plupart de l'échange) me laissait peu de temps pour répondre et je ne voyais pas souvent où est-ce qu'elle voulait aller. Un autre jury un peu plus avenant et la troisième personne n'a quasiement pas parlé.

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.
Pas de surprises.

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
Q: pourquoi y’a t’il (p-1)/2 carrés dans Fp? A: preuve en considérant x→x^2 morphisme de groupe puis premier théorème d’isomorphimse avec le noyau et l'image de l’application Q: Vous savez faire la division euclidienne de 5+2i par 2+i (c'étaient pas ces complexes là mais osef) A: oui je sais faire ! Bon j’ai fait une erreur de calcul (la norme au carré de 2+i c’est 5, pas 3…) mais ils m’ont dit “vérifiez votre denominateur” et à part ça je connaissais la méthode Q: vous savez prouver le lemme sur les isomorphismes d’anneaux que vous admettez? A: oui, je fais la preuve que j’avais revue au brouillon. Pareil, théorème d’isomorphimse Q: pourquoi Z[X]/(X^2 +1) est isomorphe à Z[i]? A: on envoie i sur X. Il faut expliciter le morphisme car Z n’est pas un corps donc les histoires de corps de rupture ça marche pas. Q: est-ce qu’il y a une infinité d’irréductibles dans Z[i]? A: il faut montrer qu’il y a un infinité de nombre premiers congrus à 3 modulo 4. Il y a une infinité de nombre premiers congrus à n’importe quoi modulo n’importe quoi… euh non pardon c’est faux ce que je viens de dire, surtout pas !...mais 3 et 4 sont premiers entre eux donc ça marche Q : vous savez prouver qu’il y a une infinité de nombres premiers congrus à 3 mod 4 A: je bafouille un truc sur les corps finis avant d’admettre que je sais pas. Q: Ok, passons à la suite. Dans le plan vous affirmez que ll'ensemble des nombres algébriques sur un corps K est un corps, vous savez le prouver? A: on considère K(x,y) pour x et y algebriques et on montre que c’est une extension de degré fini de K qui contient x/y et x-y Q: quel est le degré de la racine 4eme de 2 sur Q? A: j’essaie un truc par multiplication de degrés d’extensions, sans succès Q: cherchez plutôt un polynôme minimal sur Q. A: X^4-2 polynôme annulateur, je veux qu’il soit irréductible…euh…ahah! C’est le critère d’eisenstein avec p=2 Q: Vous savez prouver votre théorème de caractèrisation des éléments algebriques sur un corps ? A: oui. Je refais (une partie, ils ont pas voulu voir toutes les implications sinon c’est très long) la preuve, c'était pas parfaitement fluide mais je m'en suis sortie assez vite Q: pourquoi ça existe un polynôme minimal A: on considère l'idéal des polynômes qui annulent a algébrique, c'est un idéal dans K[X] on prend son générateur c’est le polynôme minimal Q: pourquoi on peut faire ça ? A: car K[X] est principal Q:Pourquoi ? A: car K est un corps Q: pourquoi le polynôme minimal est irréductible? A: par l’absurde, s’il était réductible on aurait un facteur de degré plus petit qui annulerait a ce qui contredirait la minimalité Q: C’est quoi le degré de R sur Q? A: infini. On prend un transcendant x dans , [Q(x): Q] de degré infini puis base télescopique avec la convention infini x infini= infini Q: comment on sait qu’il existe des nombres transcendants dans R? A: l’ensemble des nombres algébriques est dénombrable, R est Indénombrable. Q: votre application 12.5 mise à la fin du plan avec une astérisque là, C privé d’un nombre dénombrable de points est connexe par arcs, c'est une application de quoi? A: oui pardon je l’ai rajoutée à la fin: c'est une application du fait que R est Indénombrable Q: vous savez le montrer? A: OUI ! J’ETAIS TROP CONTENTE ! C’EST MA PREUVE PRÉFÉRÉE DE TOUTE L'ANNÉE ! Q: vous affirmez que Z[(1+i racine (19))/5] n’est pas euclidien comment vous le prouvez? A: euh …par l’absurde… je crois qu’on contredit l'irrationalité de racine(19) mais je ne me rappelle plus des détails Q: vous avez un exemple de Z[w] qui ne soit pas principal? A: c'est un sous anneau de C qui lui est principal… Q: ça va nous aider ça ? A: bah je me dis que je peux chercher un idéal de mon Z[w] tel que son générateur dans C ne soit pas dans Z[w]... Q: on va plutôt en trouver un qui ne soit pas factoriel. Vous avez une idée du choix de w? A:non Q: w=iracine(5) A: ahhhh oui ! Bon supposons qu’il n’est pas factoriel…(hésitation, je sais plus par où partir) Q: ça veut dire quoi qu’il n’est pas factoriel ? A: on n’a pas d’unique décomposition en irréductibles. Ah! Donc on va chercher un elt qui a deux décompositions distinctes en irréductibles Q: prenez 6 A: bon déjà 6=2 * 3. Ensuite…(1+iracine(5))(1-iracine(5)). Il faut montrer que les éléments qu’on vient de voir sont irréductibles. Je m’en sors par un raisonnement que la norme d’arithméticiens. Ensuite je m’embrouille à essayer d’expliquer de 2 et 3 ne divisent pas (1+iracine(5))(1-iracine(5) (je me rends compte maintenant que j’aurais pu le déduire de l’irréductibilité). Le jury m’empêche de m’embourber plus. Q: et donc ? A: donc Z[iracine(5)] n'est pas factoriel Q: donc il n’est pas… A: principal Q: donc il n’est pas… A: euclidien Q: Ok, c'est presque la fin…Vous définissez e comme la somme des 1/(n!), pourquoi cette somme est définie? A: on regarde la série entière exponentielle des x^n/(n!) et on montre qu'elle a un rayon de CV infini. C'est parce que n!/ (n+1)! tend vers 0, c’est le critère de … Cauchy ou d’Alembert je sais plus. Cauchy je crois. Du coup la série est bien définie sur R et donc en particulier en 1 Q: vous savez montrer que l’ensemble des suites à valeur dans {0,1} est Indénombrable ? A: oui , c'est encore l’argument diagonal de Cantor Q: ok c'est terminé

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Très bienveillant.

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.
J'ai eu un gros trou de mémoire sur un détail dans mon développement. Je suis passée à la suite et suis revenu dessus à la fin. Je n'ai eu aucune question sur les nombres constructibles alors que j'imaginais en avoir. Il faisait vraiment très chaud.