Méthodes itératives de résolution d'un système linéaire
Soient $A \in GL_n(\mathbb{R})$, $b \in \mathbb{R}^n$ et $u$ l'unique solution de$Au = b$. On pose $u_0 \in \mathbb{R}^n$ et $u_{k+1} = M^{-1} ( N u_k +b)$ où $A = M-N$ avec $M \in GL_n(\mathbb{R})$. Alors la suite $(u_k)$ converge vers $u$ (quelque soit $u_0$) si et seulement si $\rho( M^{-1}N) < 1$.
| Qualité | Numéro | Titre |
|---|---|---|
| 5 | 162 | Systèmes d’équations linéaires ; opérations élémentaires, aspects algorithmiques et conséquences théoriques.2026 |
| 5 | 226 | Suites vectorielles et réelles définies par une relation de récurrence un+1=f(un). Exemples. Applications à la résolution approchée d’équations.2026 |
| 5 | 232 | Méthodes d'approximation des solutions d'une équation $F(X) = 0$. Exemples.2016 |
| 3 | 233 | Analyse numérique matricielle. Résolution approchée de systèmes linéaires, recherche d’éléments propres, exemples.2021 |
| 3 | 156 | Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.2026 |
| 1 | 150 | Exemples d'actions de groupes sur les espaces de matrices.2022 |
| 1 | 206 | Théorèmes de point fixe. Exemples et applications. 2016 |
Utilisateur : Louis D
La remarque 2 est à garder en tête sans forcément la dire à l'oral. Elle est surtout là en cas de question.
Attention aux coquilles.'
Références :
Algèbre linéaire numérique. - Allaire, Grégoire & Kaber, Sidi Mahmoud
Utilisateur : Julos
Développement complètement sous côté. Il est pas très dur, assez original et va dans beaucoup de leçons :
- 153 car on définit quand même une norme majoré par le rayon spectral, le résultat est alors une application.
- 154 on décompose une matrice pour résoudre des systèmes.
- 156 on trigonalise pour obtenir notre norme et c'est le point clef pour obtenir le lemme .
- 162 ca paraît assez clair.
- 226 pareil.
Mes développements sont disponible (rédigé en LaTex) sur mon site https://julesgagnaire.github.io/'
Références :
Utilisateur : Carpentier Axel
Tous mes développements tapés au propre à l'ordi à l'adresse suivante : https://www.acarpentier.eu/developpements/'
Références :
L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements - Isenmann, Pecatte
Utilisateur : Matthieu C.
Un développement sympathique. Ma version est vraiment très courte à l'écrit, mais en donnant quelques compléments à l'oral, ça remplissait bien le temps imparti. Le début est exactement le même que la preuve du lemme dans le dev Topologie des classes de similitude. Le lemme constitue un résultat pour le moins inhabituel sur le rayon spectral et les normes d'opérateur. Tellement inhabituel que je trouve qu'il est vraiment intéressant de présenter ce développement dans la leçon sur les valeurs propres. On peut aller bien plus loin, en présentant des exemples de méthodes itératives calquées sur ce schéma, comme Gauss-Seidel ou Jacobi. Mais pour moi, pauvre option A, c'était prendre trop de risques : je préférais garder ces noms savants sous la pédale en cas de question gênante... Plus trop sûr de la référence. Côté recasage à mon avis:
Valeurs propres et vecteurs propres
Systèmes linéaires
Les remarques que j'ai mises à la fin du document sont purement personnelles ; elles font souvent référence aux difficultés que j'ai pu avoir au moment de préparer mes développements, peut-être certains pourront les trouver utiles... S'il y a une erreur dans le document ou quelque chose de douteux, vous pouvez me contacter par mail avec plaisir. '
Références :
Modélisation à l'oral de l'agrégation\r - Dumas
Utilisateur : kureru
Développement rédigé pour l'oral, attention aux éventuelles coquilles/erreurs.'
Références :
L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements - Isenmann, Pecatte
Introduction à l'analyse numérique matricielle et à l'optimisation\r - Ciarlet
Utilisateur : Papatte
Il faut savoir démontrer l'expression de la norme subordonnée à la norme infinie d'une matrice A:
|||A|||∞=max1≤i≤n (∑1≤j≤n ∣Aij∣)
'
Références :
Modélisation à l'oral de l'agrégation\r - Dumas
Introduction à l'analyse numérique matricielle et à l'optimisation\r - Ciarlet
Utilisateur : Coquillages & Poincaré
Retrouvez toutes les leçons et tous les développements, ainsi que des cours (avec les fichiers sources) sur mon site www.coquillagesetpoincare.fr'
Références :
Utilisateur : Aurélie BIGOT
Leçons 157, 162, 226, 233.'
Références :
L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements - Isenmann, Pecatte
Utilisateur : 20-sided dice
J'aime cette version qui ne s'intéresse qu'aux théorèmes préliminaires de convergence mais ce sont ceux-là qui permettent de justifier la convergence de méthodes comme Jacobi ou Gauss-Seidel. En tout cas c'est assez clairement expliqué dans Schatzman.
D'ailleurs la démonstration originelle dans Schatzman comporte des erreurs que je pense avoir réussi à corriger.
Il faut conclure une présentation de ce développement par un commentaire sur la convergence d'au moins une méthode itérative.
(p265)'
Références :
Analyse numérique, Une approche mathématique - Michelle Schatzman
Utilisateur : Clémentine
Voir les paragraphes 1.4, 1.5 et 5.1 du livre de Ciarlet.'
Références :
Introduction à l'analyse numérique matricielle et à l'optimisation\r - Ciarlet
Utilisateur : Mathieu Dutour
La plus grosse partie de la preuve consiste à créer une bonne norme d'opérateur, ce qui se fait en trigonalisant $A$.
'
Références :
Modélisation à l'oral de l'agrégation\r - Dumas