Méthodes itératives de résolution d'un système linéaire
Soient $A \in GL_n(\mathbb{R})$, $b \in \mathbb{R}^n$ et $u$ l'unique solution de$Au = b$. On pose $u_0 \in \mathbb{R}^n$ et $u_{k+1} = M^{-1} ( N u_k +b)$ où $A = M-N$ avec $M \in GL_n(\mathbb{R})$. Alors la suite $(u_k)$ converge vers $u$ (quelque soit $u_0$) si et seulement si $\rho( M^{-1}N) < 1$.
| Qualité | Numéro | Titre |
|---|---|---|
| 5 | 162 | Systèmes d’équations linéaires ; opérations élémentaires, aspects algorithmiques et conséquences théoriques.2025 |
| 5 | 226 | Suites vectorielles et réelles définies par une relation de récurrence $u_{n+1} = f(u_n)$. Exemples. Applications à la résolution approchée d’équations.2025 |
| 5 | 232 | Méthodes d'approximation des solutions d'une équation $F(X) = 0$. Exemples.2016 |
| 3 | 233 | Analyse numérique matricielle. Résolution approchée de systèmes linéaires, recherche d’éléments propres, exemples.2021 |
| 3 | 156 | Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.2025 |
| 1 | 150 | Exemples d'actions de groupes sur les espaces de matrices.2022 |
| 1 | 206 | Théorèmes de point fixe. Exemples et applications. 2016 |
Utilisateur : Julos
Développement complètement sous côté. Il est pas très dur, assez original et va dans beaucoup de leçons :
- 153 car on définit quand même une norme majoré par le rayon spectral, le résultat est alors une application.
- 154 on décompose une matrice pour résoudre des systèmes.
- 156 on trigonalise pour obtenir notre norme et c'est le point clef pour obtenir le lemme .
- 162 ca paraît assez clair.
- 226 pareil.
Références :
Utilisateur : Papatte
Il faut savoir démontrer l'expression de la norme subordonnée à la norme infinie d'une matrice A:
|||A|||∞=max1≤i≤n (∑1≤j≤n ∣Aij∣)
Références :
Modélisation à l'oral de l'agrégation - Dumas
Introduction à l'analyse numérique matricielle et à l'optimisation - Ciarlet
Utilisateur : Coquillages & Poincaré
Retrouvez toutes les leçons et tous les développements, ainsi que des cours (avec les fichiers sources) sur mon site www.coquillagesetpoincare.fr
Références :
Utilisateur : Carpentier Axel
A la fin de mes devs je mets toujours une petite note sur les résultats annexes à savoir, c'est très subjectif et non exhaustif, il y a évidemment pleins d'autres choses à savoir sur chaque dev que ce que je mets.
Pour me contacter si besoin : axel.carpentier2001@gmail.com
Références :
L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements - Isenmann, Pecatte
Utilisateur : Aurélie BIGOT
Leçons 157, 162, 226, 233.
Références :
L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements - Isenmann, Pecatte
Utilisateur : 20-sided dice
J'aime cette version qui ne s'intéresse qu'aux théorèmes préliminaires de convergence mais ce sont ceux-là qui permettent de justifier la convergence de méthodes comme Jacobi ou Gauss-Seidel. En tout cas c'est assez clairement expliqué dans Schatzman.
D'ailleurs la démonstration originelle dans Schatzman comporte des erreurs que je pense avoir réussi à corriger.
Il faut conclure une présentation de ce développement par un commentaire sur la convergence d'au moins une méthode itérative.
(p265)
Références :
Analyse numérique, Une approche mathématique - Michelle Schatzman
Utilisateur : Clement T
Références :
Modélisation à l'oral de l'agrégation - Dumas
Utilisateur : Clémentine
Voir les paragraphes 1.4, 1.5 et 5.1 du livre de Ciarlet.
Références :
Introduction à l'analyse numérique matricielle et à l'optimisation - Ciarlet
Utilisateur : Gayral
Références :
Modélisation à l'oral de l'agrégation - Dumas
Utilisateur : Mathieu Dutour
La plus grosse partie de la preuve consiste à créer une bonne norme d'opérateur, ce qui se fait en trigonalisant $A$.
Références :
Modélisation à l'oral de l'agrégation - Dumas
Utilisateur : Tom
Références :
Modélisation à l'oral de l'agrégation - Dumas
Utilisateur : Victor
Références :
Modélisation à l'oral de l'agrégation - Dumas