Décompositions LU et de Cholesky

Théorème: (décomposition LU) Soit $A=(a_{i,j})\in\mathcal{M}_n(\mathbf{K})$ telle que: $\forall k\in [[1;n]]$\r\r\[\r \Delta^k := \r \begin{bmatrix}\r a_{1,1} \dots a_{1,k}\\\r \ddots \\\r a_{k,1} \dots a_{k,k}\r \end{bmatrix} \in GL_k(\mathbf{K}).\r\]\rAlors: $\exists ! L,U\in GL_n(\mathbf{K})$ telles que: $A=LU$ avec $L$ triangulaire inférieure avec des 1 sur sa diagonale et $U$ triangulaire supérieure.\r\r\rThéorème: (décomposition de Cholesky) Soit $A\in S^{++}_n(\mathbf{R})$.\rAlors: $\exists ! B\in GL_n(\mathbf{R})$ telle que $A=BB^*$ avec $B$ triangulaire inférieure à diagonale positive.