104 - Groupes finis. Exemples et applications.2026

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
(Retour de Jérémie Klingler ) 6min + développement sans problème. Questions sur le développement : - vous avez rapidement traité le cas de A_3 en disant que comme il est d'ordre 3, alors il est cyclique donc abélien donc simple : pouvez-vous préciser ? Là, je ne me suis pas rendu compte que je m'étais bien emmêlé les pinceaux dans mon argument et je commence à essayer de démontrer qu'un groupe cyclique est forcément simple. Je jury, pour m'aiguiller un peu, me demande quels sont les sous-groupes d'un groupe cyclique en général, puis la définition d'un groupe simple, ce qu'a de particulier un sous-groupe distingué et quels sont les sous-groupes distingués dans un groupe abélien. - Bien, à présent, avec tout ce qu'on a dit, arrivez-vous à conclure ? Et là j'ai été encore un peu perdu jusqu'à ce que je finisse par me rendre compte de ma bourde et j'ai dit \"ah non ce n'est pas vrai en général pour les groupes cycliques ! L'argument qui sert ici est le fait que A_3 est d'ordre 3 qui est premier et un groupe d'ordre premier est toujours simple car en vertu du th. de Lagrange, ses seuls sous groupes possibles sont le trivial et lui-même !\" Bon, j'ai fini par bien me rattraper mais dommage de démarrer l'oral sur une grosse bêtise et d'avoir mis du temps à la retrouver. Suite des questions sur le développement : - Vous prenez H un sous groupe distingué de A_n non trivial, sigma un élément non trivial de H, x tel que sigma(x) \ eq x puis vous dites qu'il existe alors z tel que sigma et le 3-cycle (x z sigma(x)) ne commutent pas. Pourquoi ? J'ai eu de la chance, on m'avait posé la même question en oral blanc donc j'ai su directement le justifier. - Pouvez vous alors donner une définition plus précise de ce z, plutôt que d'énoncer vaguement son existence ? Moi : effectiement, il suffit de prendre z \ eq sigma^{-1}(x), sachant qu'on le prend également différent de x et sigma(x), tout ça est permis car n est supposé assez grand (n \geq 5 dans la preuve) - Dans votre démonstration du fait que les 3-cycles sont conjugués dans A_n, vous supposez que les 3-cycles sont conjugués dans S_n. Comment le démontrer ? J'ai su le faire sans problème. - Vous affirmez que le carré d'un 3-cycle est un 3-cycle. Pourquoi ? Je l'ai fait sans problème. - Peut-on généraliser à un k-cycle en général ? J'hésite un peu et dis \"non car pour un 4-cycle, le carré sera une permutation paire donc pas un 4-cycle car un 4-c est impair\". Après j'ai un peu galéré à trouver le résultat général, ils m'ont dit \"donnez vous un k-cycle (a_1 ... a_k) avec k impair et calculez son carré\". J'ai fait les calculs et ai trouvé qu'effectivement ça donnera le cycle (a_1 a_3 ... a_k a_2 a_4 ... a_{k-1}) lorsque k est impair donc la propriété se généralise aux cycles de taille impaire mais pas aux cycles de taille paire. - Plus conceptuellement, que dire du sous-groupe engendré par un p-cycle ? Moi : \"euuuuuuuh.....il sera monogène et fini vu que c'est un ss gpe de S_n donc cyclique ?\" - Oui, et que dire de l'ordre du générateur au carré dans ce groupe ? Là j'étais paumé, j'ai commencé à dire que si l'ordre p du cycle est pair, alors c'est p/2 mais j'étais un peu perdu et ils m'ont dit qu'on allait passer à la suite. Questions sur le plan : - Pour faire le lien avec ce qu'on vient de voir, quels sont les générateurs d'un groupe cyclique d'ordre n et combien y en a-t-il ? Je commence à dire \"euh les g^k avec k entre 1 et p-1.....\" - g correspond à quoi ? à un générateur du groupe cyclique - Avec quelle hypothèse sur k ? Moi : \"ah ! et k premier avec n !\" - Très bien, donc combien y en a-t-il ? Moi \"phi(n)\" - Vous connaissez quelques propriétés de l'indicatrice d'Euler ? Là je me suis dit \"oh les coquins, ils avaient prévu leur coup et voulaient m'emmener sur ce terrain ! Je leur dis : alors déjà si p es premier, phi(p) = p-1, ensuite si a et b sont premiers entre eux, phi(ab) = phi(a)pi(b) - D'accord, et donc à partir de ça, comment calculer phi(n) via la décomposition en facteurs premiers ? Moi : alors déjà on aura phi(n) = \prod_i phi(p_i^{alpha_i}), reste alors à calculer phi(p^alpha) ..... - Revenez à la définition de l'indicatrice d'Euler : vous cherchez les nombres premiers à p^alpha. A quelle condition un nombre n'est pas premier à p^alpha ? Moi : si c'es un multiple de p - Il vous reste donc à trouver les multiples de p. Vous sauriez les dénombrer ? Je réfléchis un peu et commence à dire, ah oui on cherche les kp compris entre 1 et p^alpha donc au final les k entre 1 et p^alpha - 1 - L'inégalité de droite est large ou stricte ? Là je me foire en disant qu'elle est stricte alors qu'elle est large car on doit bien compter p^alpha ici vu qu'il n'est pas premier avec p^alpha. J'essaie de finir le raisonnement en disant qu'on a donc réussi à dénombrer ce qu'on cherchait mais ils me disent que c'est ok. - Dans votre autre développement, vous démontrez la proposition suivante : \"Si G/Z(G) est monogène, alors G est abélien\". Peut-on affaiblir l'hypothèse en \"Si G/Z(G) est abélien, alors G est abélien\" ? Je commence à essayer d'adapter la preuve mais me retrouve un peu bloqué. - Non, en fait ça sera faux. Pouvez-vous me donner un contre-exemple pour un groupe d'ordre 8 ? Là je fais le lien avec les quaternions qui figuraient dans le plan : \"ah oui pour les quaternions, on sait que le centre est {1,-1} donc d'ordre 2. Ainsi G/Z(G) est d'ordre 4. Or un groupe d'ordre 4 est abélien. En revanche, le groupe n'est pas abélien ici\". Il ne m'a pas tout a fait laissé finir, estimant que je lui avais donné l'argument qu'il attendait. - Vous parlez du groupe D_8 dans votre plan. Pouvez-vous décrire ses éléments ? Je commence par tracer le carré dans le plan complexe avec les 4 axes de symétrie, je définis les 4 rotations qui le préservent. Je commence à esssayer de définir les 4 symétries axiales mais ils me coupent en disant que c'est OK. Et un petit exercice pour finir : Soit G un sous groupe fini de GL_2(C) tel que G \cap SL_2(C) = {I_2}. Montrer que G est cyclique. Là je vois qu'il me reste 5min et que je dois vite donner des idées alors que je suis totalement paumé. Je propose pêle mêle de quotienter par SL_2, d'appliquer le déterminant ... Ils n'ont pas l'air convaincu mais un jury me dit \"gardez cette histoire de déterminant\". Je dis \"oui le déterminant, son noyau c'est SL_2 donc on veut quotienter par SL_2\" - ah mais attention ? Est-ce que SL_2 est un ss gpe de G ? Moi : \"ah bah non...\" - Donc on va plutot quotienter par quoi ? Moi : Ah bah oui ! Par G \cap SL_2 qui est bien le noyau de la restriction de det à G et qui est supposé trivial donc det induit un iso entre G et un sous-groupe de C^* - Et que pouvez vous dire de ce sous-groupe ? Moi : il est fini, d'ordre l'ordre de G, notons-le n - Vous connaissez quoi comme sous-groupe d'ordre n dans C^* ? Moi : les groupes des racines n-ièmes de l'unité. - Les ? Il y en a plusieurs ? Ah, non, je veux dire les groupes des racines de l'unité en général. Ici, il s'agit précisément *du* groupe des racines n-ièmes de l'unité. - Vous sauriez montrer que c'est le seul sous-groupe de C^* de taille n ? Là j'étais bloqué, ils ont fini par me dire : \"quel résultat vous avez sur les sous-groupes finis du groupe des inversibles d'un corps commutatif ?\" J'ai beaucoup hésité de peur de dire une bêtise et ils m'ont dit \"bon on va s'arrêter là\" et pile en même temps j'ai dit \"euuuuuuh il est cyclique !\" Et là le jury a répondu \"oui, effectivement et donc vous avez le résultat qui en découle.

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Le jury était constitué de deux hommes et une femme. J'avais eu la chance d'en voir 2 des 3 la veille en étant auditeur. J'étais donc tout de suite plus en confiance car je les avais déjà vus et avais vu qu'ils étaient très bienveillants. Un des 3 a un peu moins parlé que les 2 autres. Ils avaient une posture neutre mais très bienveillante et essayaient toujours de me guider lorsque j'étais un peu perdu.

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.
Tout s'est passé comme prévu mais il faisait horriblement chaud ! Et pourtant, j'avais la chance d'etre sur le premier horaire (préparation de 7h50 à 10h50 et passage de 11 à 12). Prévoyez une grande gourde d'eau et pensez à la remplir sur le petit temps de pause entre la préparation et le passage. Les 3h de préparation passent extrêmement vite, il ne faut pas trainer ! Par contre on a bien 3h complètes de préparation, les plans sont ramassés au bout de 3h et ensuite on doit ranger nos affaires. $\mathbf{Epilogue\,:}$ Ma note reflète assez bien l'avis que je m'étais fait après mon oral, bien que je m'attendais à avoir 1 point de moins. Mon 6min et mon dév étaient solides mais mon plan était incomplet sur certains aspects et j'ai raconté quelques bêtises lors des questions. Néanmoins, j'ai montré que je maitrisais l'essentiel et j'ai fait un vrai effort de clarté dans mes explications, ce qui a semble-t-il été apprécié. Je pense que la forme est au moins autant notée que le fond lors des oraux et qu'il ne faut pas oublier que le jury évalue un futur enseignant : il évalue donc également (et surtout) la capacité pour le candidat à expliquer des maths et à faire preuve d'une certaine aisance au tableau, tout en restant humble face à des pairs plus expérimentés.

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
Lors du développement (14’40”) j’ai démontré les 4 points suivants (où G est un groupe de cardinal p^α m) : 1. Existence d’un p-Sylow, 2. Un p-sous-groupe est toujours inclus dans un p-Sylow, 3. Les p-Sylow sont deux à deux conjugués, donc il y en a un unique si, et seulement si, il est distingué, 4. Leur nombre k vérifie k ≡1 mod p et k|m. Questions sur le développement : — Dans le premier point, vous utilisez Stab(aS) = aSa^−1. Expliquez-nous cette égalité. Je l’ai démontré par double inclusion. — Dans le quatrième point, pourquoi T est distingué dans N ? On fixe S un p-Sylow et on considère T tel que ∀s ∈ S, sTs^−1 = T. On pose N =< S,T >. Soit H = {n ∈ N, nTn^−1 = T}, alors H est un groupe (à bien justifier, le jury m’attendait sur le fait que H est stable par inverse) contient S par hypothèse, mais aussi T. Donc H = N, c’est-à-dire T distingué dans N. Questions, exercices : — Déterminer les p-Sylow de S4. On a 24=2^3 * 3. On commence par les 3-Sylow. Ce sont des groupes d’ordre 3. Comme les seuls éléments de S4 d’ordre 3 sont les 3-cycles (au nombre de 8), on a quatre 3-Sylow : (< σi >)1≤i≤4, avec σ1,σ1^- 1 ,σ2,σ2^-1 ,σ3,σ3^-1 ,σ4,σ4^-1 les huit 3-cycles. Pour les 2-Sylow je sais que c’est plus dur. Soit G un 2-Sylow. Notons V4 le groupe engendré par les doubles transpositions. Indication du jury : montrez que G contient V4, une transposition et un 4-cycle. Soit τ une transposition, par le point 2 du développement il existe H un 2-Sylow contenant < τ >. Comme G= σHσ^−1 (point 3 du développement), alors G contient la transposition στσ^−1. De même G contient un 4-cycle. Comme V4 est distingué dans S4 (à expliquer au jury) alors le même raisonnement donne V4 ⊆G. On s’est arrêté là avec le jury. Mais quelques calculs dans S4 montrent que les trois 2-Sylow sont : — {Id,(12)(34),(13)(24),(14)(23),(1234),(1432),(24),(13)} — {Id,(12)(34),(13)(24),(14)(23),(1324),(1423),(12),(34)} — {Id,(12)(34),(13)(24),(14)(23),(1342),(1243),(14),(23)} — Un produit de groupes cycliques est-il cyclique? Non. J’ai précisé dans le plan qu’il y a équivalence dans le théorème Chinois. — Pourquoi Fq* est-il cyclique? J’ai proposé deux méthodes. La première utilise le théorème de structure des groupes cycliques permettant d’obtenir la formule n = somme sur d|n des ϕ(d). On conclut comme dans le Perrin (page 74). La seconde passe par le théorème de structure des groupes abéliens finis. On écrit Fq* isomorphe à Z/a1Z ×···× Z/arZ avec 2 ≤ ar|···|a1, de sorte que ∀x ∈ Fq*, x^a1 = 1. Ainsi Fq* ⊆{racines de X^a1 −1} de cardinal au plus a1 (on est sur un corps commutatif). D’où a1···ar = q−1≤ a1, donc a2 =···= ar =1. Finalement Fq* est isomorphe à Z/a1Z cyclique. — Déterminer le groupe dérivé de GLn(k) pour k corps commutatif. Intérieurement je me dis que l’on peut avoir à faire à des groupes infinis, mais passons. Via le déterminant on a D(GLn(k)) inclus dans SLn(k). Je dis au jury que suivant l’hypothèse sur k on a égalité. Il est satisfait. (cela est vrai sauf si k =F2 et n =2) — Trouver tous les groupes finis G tels que Aut(G)={Id}. Je pense tout de suite à Aut(Z/nZ) isomorphe à (Z/nZ)^× , de cardinal ϕ(n) (il m’ont demandé de redéfinir l’indicatrice d’Euler). Cela me permet de conclure que ϕ(n) = 1, c’est-à-dire n = 1 ou 2 (à expliquer au jury). Donc {1} et Z/2Z conviennent. On va montrer que c’est les seuls. Indication du jury : regardez les automorphismes intérieurs. En effet, pour tout g ∈G, l’application h |→ ghg^−1 vaut l’identité par hypothèse. Cela montre que G est abélien. Par le théorème de structure, on peut supposer G = Z/a1Z×···×Z/arZ. Si f ∈Aut(Z/a1Z), alors F :(xi mod ai)1≤i≤r |→ (f(x1 mod a1), x2 mod a2,··· , xr mod ar) est dans Aut(G), donc F=Id puis f=Id. Comme on a traité le cas cyclique au début on en déduit que a1 =1 ou 2, avec toujours 2≤ ar|···|a1. Si a1 =1,G={1}. Si a1 =2 on obtient l’existence de 1≤ s ≤ r tel que G est isomorphe à (Z/2Z)^s =F2^s, structure de F2-espace vectoriel. Dans ce cas GL_s(F2) ⊆ Aut(G) = {Id}. Finalement s =1 et G =Z/2Z. (lorsque s > 1, GL_s(F2) n'est pas trivial)

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Jury bienveillant. Il faut absolument entretenir un dialogue entre vous et le jury. Même si vous bloquez, n'hésitez pas à lui proposer des pistes de réflexions, il vous guidera ensuite.

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.
Préparation : Pendant la préparation, je commence par réécrire mes développements (environ 45 min). Cela me permet de mettre ensuite dans mon plan les propriétés importantes intervenants dans les deux preuves. Il est préférable d’assurer 15 min de sa présentation que de vouloir rajouter une nième propriété que le jury ne lira sans doute pas. Ensuite, j’écris et j’apprends les preuves de mon plan pendant 2h. Puis il me reste un peu moins de 10 min pour relire mes développements, le temps qu’ils fassent les photocopies. Pour la défense du plan, je rédige les deux premières phrases qui me permettront de me lancer devant le jury. Je termine d’y réfléchir entre la salle de préparation et la salle de passage. Passage : Lors de la défense du plan, mettez-y du cœur et utilisez le tableau. J'ai l'impression que c'est très apprécié. Développement réalisé sur un grand tableau à feutre. Quand on a bien répété nos dev il n'y a pas de surprise à avoir, notamment sur les questions. Si vous choisissez tel ou tel dev, aucun doute ne doit transparaître lors de la présentation. Pendant l'année, faites les questions / exercices associés à vos dev. Dans mon plan (disponible sur le site) j'ai fait une dernière partie \"géométrie\". Aucune questions sur ce sujet.

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
C'était mon premier oral, j'étais très stressée donc je ne me rappelle plus très bien des questions. Celle à laquelle je n'ai pas pu répondre m'a marquée : en définitive il fallait donner l'ordre d'un élément de Z/nZ et je ne trouvais pas, ce qui me stressait, ce qui faisait que j'avais encore moins de chances de trouver... Du coup, conseil : révisez les résultats de base ! Je me rappelle quand même de trois autres questions, mais j'en ai eu environ sept au total : la première question toute bête (c'est un classique à l'agreg), en l'occurrence \"Que donne le théorème de structure des groupes abéliens finis pour Z/15Z ?\" (que Z/15Z est isomorphe à lui-même (et l'unicité de l'écriture comme dans le théorème)); j'ai aussi eu \"Que pouvez-vous dire sur la structure du groupe alterné A_n ?\" (que A_n est simple pour n=3 et n>=5 (mais pas pour n=4, cf. les doubles transpositions (avec l'identité))) et \"Que dire de Phi qui va de [1,1] x ... x [1,n] (intervalles d'entiers) dans S_n qui à (a_1,...,a_n) associe (1 a_1) (1 a_2) ... (1 a_n) ?\" (elle est bijective).

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Jury très poker face (alors qu'en général les jurys sont souriants), et qui a grimacé quand je n'ai pas réussi à donner l'ordre d'un élément de Z/nZ. Le jury a essayé de m'aider un peu mais ça n'a pas marché; j'ai eu l'impression de passer beaucoup de temps dessus, comme je bloquais complètement j'aurais préféré que le jury passe à autre chose (mais bon ça se comprend qu'ils s'attendent à ce que j'arrive à trouver l'ordre d'un élément de Z/nZ; c'est juste qu'avec le stress du jour J, on n'aime pas du tout bloquer sur un truc simple et on préférerait zapper).

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.
Le temps passe très très vite pendant la préparation; je trouvais mon plan très incomplet quand il était temps de le donner (c'est triste quand on a plein de choses à dire sur un sujet et qu'on n'en a dit qu'un tiers...). J'étais surprise que le jury ne soit pas plus encourageant (pendant les oraux blancs et après pendant les deux autres oraux que j'ai passés les jurys étaient toujours encourageants). Vu ma note le jury devait être plus content que ce qu'il laissait paraître.

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
Questions sur la loi de la réciprocité quadratique : idée de la preuve de la classification des formes quadratiques sur un corps fini, l'histoire de l'hyperplan affine pour le dénombrement. Questions sur le plan : donner un exemple de groupe toujours abélien, j'ai dit les groupes d'ordre p^2, ils m'ont demandé de le montrer. Exercices : 1. Si on prend une permutation qui s'écrit comme produit de r transpositions à supports disjoints dans Sn, je devais dénombrer le nombre de permutations de Sn qui commutaient avec, c'était quelque chose comme r!(n-r)!2^r 2. Dans Sp, p premier, combien y-a-t-il de sous groupe d'ordre p ? (p-2)!

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Jury bienveillant, patient lorsque je n'arrivais pas à répondre, sans pour autant me laisser m'éterniser sur ce que je n'arrivais pas du tout à faire

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.
Je m'attendais à plus de questions sur la théorie des groupes, mais le jury a préféré suivre mon développement qui fait plutôt du dénombrement et donc mes questions étaient essentiellement du dénombrement. J'avais bien relu les preuves sur les p-groupes pendant la préparation, et ça n'a pas été inutile !

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
A noter, des questions sur le groupe symétrique que je n'avais pas mis dans le plan. Prouver le lemme que j'avais admis dans mon développement (c'est à dire le lemme du Goblot). Trois preuves différentes du fait que $\Gamma$ (voir le Goblot, à nouveau) est un groupe. La réciproque du théorème chinois est-elle vraie ? Le démontrer. Montrer qu'un sous-groupe fini de $SL_2(\mathbb{R})$ est cyclique (avec des indications). Où ai-je utilisé le groupe symétrique dans mon plan ? (dans l'étude des groupes de Sylow) Donner les p-Sylow du groupe symétrique d'ordre 4.

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
Que des questions portant sur mon plan, mes développements, ce que j'ai dis dans ma défense. Suite au théorème de structure des groupes abéliens finis : -qu'en est-il de l'unicité? (je ne prouve que l'existence) -le faire sur un exemple: Z/36Z x Z/45Z x Z/60Z Par rapport à la transformée de Fourier discrète: -qu'est-ce que la Fast Fourier Transform? -comment multiplier des polynômes avec? -peut-on généraliser les caractères? (y a t'il une théorie des caractères?) Sur Sn : -pouvez-vous donner un système minimal de générateurs? -que dire en général sur le cardinal d'un famille génératrice pour un groupe fini quelconque?

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Jury pas cassant mais pas sympathique non plus, aidant juste ce qu'il faut.

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.
Oral qui s'est plutôt bien passé, juste 2 surprises: -on a des tableaux blancs à marqueur -pas mal d'aller-retours et de bruit pendant la préparation