Théorème de Burnside
Soit $G$ un sous-groupe de $GL_n(\mathbb{C})$ tel qu'il existe $N \in \mathbb{N}^*$ tel que $\forall A \in G$, $A^N = I_n$. Alors $G$ est fini.
| Qualité | Numéro | Titre |
|---|---|---|
| 5 | 106 | Groupe linéaire d’un espace vectoriel de dimension finie E, sous-groupes de GL(E). Applications.2026 |
| 4 | 156 | Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.2026 |
| 3 | 104 | Groupes finis. Exemples et applications.2026 |
| 3 | 153 | Valeurs propres, vecteurs propres. Calculs exacts ou approchés d’éléments propres. Applications.2026 |
| 2 | 152 | Endomorphismes diagonalisables en dimension finie2026 |
| 1 | 102 | Groupe des nombres complexes de module 1. Racines de l’unité. Applications.2026 |
Utilisateur : lemaire
'
Références :
Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie - Jean Etienne Rombaldi
Algèbre à l'agrégation - Lucie Jacquet-Malo
Utilisateur : Elouan Renault
Pour être tout à fait honnête, je l'avais présenté en oral blanc et j'avais complètement foiré la fin. Je ne le maîtrisais pas encore suffisamment bien, et j'avais écrit $\mathrm{Tr}((AB^{-1})^j) = (\mathrm{Tr}(AB^{-1}))^j$, ce qui donnait ensuite :
\begin{equation*}
\mathrm{Tr}((AB^{-1}-I_n)^k) = \sum_{j=0}^{n} \binom{k}{j} (-1)^{k-j} n^j
\end{equation*}
m'empêchant donc de conclure. Or, l'égalité $\mathrm{Tr}((AB^{-1})^j) = (\mathrm{Tr}(AB^{-1}))^j$ est fausse a priori (la trace n'est pas multiplicative). Par exemple, si $A=B=I_n$ alors $\mathrm{Tr}((AB^{-1})^j) = \mathrm{Tr}(I_n) = n$ et $(\mathrm{Tr}(AB^{-1}))^j = (\mathrm{Tr}(I_n))^j = n^j$. Malgré cette mésaventure, j'apprécie ce développement, qui se comprend et se retient facilement, et peut être présenté dans plusieurs leçons. Je le recommande.'
Références :
Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie - Jean Etienne Rombaldi
Utilisateur : RMaurice
Si ma version peut aider des gens, avec plaisir !
Référence sur le document.
Attention aux éventuels coquilles.'
Références :
Utilisateur : Jouaucon
Développement classique faisant intervenir le déterminant de Vandermonde. Ici, on montre un lemme caractérisant les endomorphismes nilpotents sur C puis on montre le théorème.
Résultats bonus:
1. Déterminant de Vandermonde (par deux méthodes)
2. Soit G sous-groupe de GL_n(C) et p=dim(Vect(G)), alors il existe une base (M_1;...;M_p) de Vect(G) telle que les M_i soient dans G.
Développement n°25 sur 28.
Pour une version de rekasator qui marche aller sur: https://docs.google.com/document/d/1vnBvwVGapXvQC4cU5CHUJWo04E4eezzDSjSIDRekaPE'
Références :
L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements - Isenmann, Pecatte
Utilisateur : Titi le mathématicien
https://sites.google.com/view/evariste-d-aubergine/'
Références :
Utilisateur : F.A.
D'après moi pour les leçons : 106 et 157
Je n'utilise pas Vandermonde pour démontrer le lemme préliminaire, pour pouvoir le caser dans la leçon 157.
Attention à mon erreur de dénombrement à la fin...
NB : tous mes développements sont généralement très détaillés car j'ai besoin de bien comprendre toutes les étapes. En l'état ils sont donc généralement trop longs pour tenir en 15 mins, et les parties \"faciles\" ne sont donc pas à mentionner ou juste à l'oral.
J'écris assez mal également, toutes mes excuses.'
Références :
Utilisateur : Marie
Mis à jour le 27.04.17'
Références :
Oraux X-ENS Algèbre 2\r - Francinou, Gianella, Nicolas