127 - Droite projective et birapport.2016

Rapport du jury 2015

Il s'agit également d'une leçon récemment introduite et reprenant un titre ancien. Le birraport peut être vu comme un invariant pour l'action du groupe linéaire $GL_2(\mathfrak{K})$ (ou plus finement son quotient projectif $PGL_(2 , \mathfrak{K})$ sur l'ensemble $P^1(K)$ des droites du plan vectoriel $\mathfrak{K}^2$. Lorsque le corps $\mathfrak{K}$ est le corps des complexes, il ne faudra pas manquer d'en voir les applications à la cocyclicité, et à l'étude des droites et cercles du plan affine euclidien. On peut s'aider du birapport, sur des corps finis, pour construire des isomorphismes classiques entre groupes finis de petit cardinal. L'ensemble des droites du plan contenant un point fixe est naturellement une droite projective. Cela permet enfin d'identifier une conique à une droite projective : c'est l'idéal d'une preuve classique du théorème de l'hexagramme de Pascal. Par ailleurs, on pourra remarquer le birapport dans l'expression de la distance hyperbolique sur le demi-plan de Poincaré.