Critères de convergence pour les méthodes itératives (cas des matrices hermitiennes)
[Note des modérateurs : pour le développement sans les matrices hermitiennes voir : https://agreg-maths.fr/developpements/104 ]\r\rThéorème: Soit $A\in\mathcal{M}_n(\mathbf{C})$, soit $(M;N)$ une décomposition régulière de $A$ et $(x_k)_{k\in\mathbf{N}}$ une méthode itérative basée sur $(M;N)$.\rAlors: $(x_k)$ converge si et seulement si $\rho (M^{-1}N)<1$.\r\rThéorème: Soit $A\in H_n^{++}(\mathbf{C})$, $(M;N)$ une décomposition régulière de $A$.\rAlors: $(M^*+N)\in H_n(\mathbf{C})$.\rSi de plus, $(M^*+N)\in H_n^{++}(\mathbf{C})$, alors: $\rho (M^{-1}N)<1$.
| Qualité | Numéro | Titre |
|---|---|---|
| 5 | 156 | Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.2025 |
| 5 | 162 | Systèmes d’équations linéaires ; opérations élémentaires, aspects algorithmiques et conséquences théoriques.2025 |
| 4 | 153 | Valeurs propres, vecteurs propres. Calculs exacts ou approchés d'éléments propres. Applications.2025 |
| 4 | 226 | Suites vectorielles et réelles définies par une relation de récurrence $u_{n+1} = f(u_n)$. Exemples. Applications à la résolution approchée d’équations.2025 |
Utilisateur : Jouaucon
Développement consistant de deux théorèmes donnant des critères de convergence de méthodes itératives dans le cas général et dans le cas de matrices thermiciennes définies positives.
Résultats bonus:
1. Pour toute matrice A dans M_n(C) et pour tout epsilon >0, il existe une norme matricielle subordonnée ||.|| telle que ||A|| <= rho(A) + epsilon
2. Pour toute norme matricielle subordonnée ||.|| dans R^n, il existe un vecteur unitaire v de R^n tel que ||A|| = ||Av||.
Développement n°26 sur 28.
Pour une version de rekasator qui marche aller sur: https://docs.google.com/document/d/1vnBvwVGapXvQC4cU5CHUJWo04E4eezzDSjSIDRekaPE
Références :
Algèbre linéaire numérique - Allaire