144 - Racines d’un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.2026

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
Le jury était composé de deux hommes et une femme. Ils m'ont rappelé les modalités de l'épreuve avant de me laisser commencer. J'ai fait ma présentation de 6 minutes, où j'ai insisté sur le fait qu'un polynôme irréductible n'avait pas de racines mais que la réciproque était fausse. Pour motiver ma deuxième partie, j'ai dit qu'un polynôme n'admet pas forcément de racines dans un corps donné et qu'il est donc nécessaire d'aller dans des sur-corps du corps considéré pour trouver des racines d'un polynôme : cela mène aux corps de rupture. Cependant, il arrive que le polynôme ne soit toujours pas complètement scindé (il manque des racines dans le corps de rupture). On considère alors le corps de décomposition. J'ai expliqué que les racines de l'unité étaient des racines avec des propriétés remarquables, et que les polynômes cyclotomiques avaient leur place dans cette leçon car ils étaient définis directement à partir de leurs racines. Ils m'ont ensuite demandé de rappeler quels étaient mes deux développements. Avant de choisir, un des membres du jury (qui d'ailleurs a été assez désagréable durant tout l'oral) m'a demandé comment je faisais la preuve de l'irréductibilité des polynômes cyclotomiques. Un peu surpris par cette question, je lui ai demandé si c'était le développement qu'ils voulaient que je fasse. Il m'a dit de juste lui donner l'idée à l'oral. J'ai dit que l'on prenait une racine primitive $n$-ième de l'unité, qui avait un polynôme minimal $\pi$ car c'était un élément algébrique, et que notre but était de montrer que $\Phi_n=\pi$ pour en déduire l'irréductibilité de $\Phi_n$ sur $\mathbb{Q}$. Finalement, ils ont choisi le premier développement, celui sur le théorème de Kronecker. Mon développement s'est bien passé, je l'ai fait en 14min30. Est venu ensuite le moment des questions : J : Dans le développement à un moment donné vous utilisez une matrice compagnon, est ce que vous pouvez nous ré-expliquer votre démarche ? M : J'ai expliqué à l'oral tout le raisonnement en faisant le lien entre matrices dans $M_n(\mathbb{Z})$, polynôme caractéristique et valeurs propres. Ils étaient satisfaits. J : Pour ce raisonnement vous avez trigonalisé votre matrice, pourquoi vous pouvez le faire ? M : En regardant notre matrice comme étant à coefficients dans $\mathbb{C}$, d'après le théorème de d'Alembert-Gauss, son polynôme caractéristique va être scindé, donc la matrice est trigonalisable dans $\mathbb{C}$. J : Dans votre plan vous définissez le corps de décomposition pour un polynôme mais celui-ci n'est pas irréductible ? M : Alors non, on le définit pour un polynôme quelconque, en revanche pour les corps de rupture oui il faut que le polynôme irréductible (il avait l'air assez surpris alors que c'était vraiment les définitions classiques que j'avais faites, même son collègue lui a indiqué sur le plan que ce que je disais était bon. Il a ensuite décidé de ne pas me lâcher pendant un long moment, il n'y avait que lui qui parlait). J : D'accord très bien. Alors vous définissez les corps finis avec les corps de décomposition, mais est-ce qu'il ne manque pas quelque chose ? M : J'ai relu le théorème à voix haute, que $\mathbb{F}_q$ était défini comme le corps de décomposition de $X^{q}-X$ sur $\mathbb{F}_p$, et que ce corps à $q$ éléments était unique à $\mathbb{F}_p$-isomorphisme près. J'ai dit que je ne voyais pas d'erreur. J : Vous êtes sûr que l'on peut construire $\mathbb{F}_q$ comme ça ? Par exemple si je vous demande de construire $\mathbb{F}_9$ ? M : Alors si l'on veut un expression explicite, il vaut mieux définir $\mathbb{F}_9$ comme $\mathbb{F}_3[X]/(\pi)$ où $\pi$ est un polynôme irréductible de degré 2 sur $\mathbb{F}_3$. C'est une autre construction possible. J : Non non mais juste de façon théorique avec votre définition. M : Vous voulez que je fasse la preuve ? J : Dites nous comment vous construisez $\mathbb{F}_q$. M : On suppose qu'on a un corps à $q$ éléments et on montre qu'alors c'est un corps de décomposition de $X^{q}-X$ sur $\mathbb{F}_p$. Or il y a unicité du corps de décomposition donc on obtient l'unicité de $\mathbb{F}_q$ sous réserve d'existence. Ensuite on regarde l'ensemble des racines de $X^{q}-X$ sur $\mathbb{F}_p$ et l'on montre que c'est un corps à $q$ éléments. On a donc prouvé l'existence et l'unicité de $\mathbb{F}_q$. J : Donc cela nécessite d'avoir le corps de décomposition ? M : Oui mais dans la proposition précédente on sait que l'on a existence et unicité du corps de décomposition. J : D'accord donc cela revient à avoir l'existence du corps de rupture. M : Oui car le corps de décomposition est construit à partir des corps de rupture (là j'avais vraiment l'impression qu'il essayait de s'en sortir comme il pouvait). J : Vous pouvez nous prouver l'existence du corps de rupture ? M : On prend $\pi$ un polynôme irréductible sur $K$ et on considère le quotient $K[X]/(\pi)$. Alors comme $K$ est un corps, $K[X]$ est principal. Or $(\pi)$ est un idéal premier donc il va être maximal. Donc $K[X]/(\pi)$ va être un corps. Et si l'on note $x$ la classe de $X$ dans ce quotient, alors $x$ va bien être une racine de $\pi$. On a bien l'existence d'un corps de rupture. J : Dans le plan, vous avez des équivalences sur le fait d'être un élément algébrique. Vous pouvez nous démontrer pourquoi si $\alpha$ est algébrique sur $K$ alors $K[\alpha]=K(\alpha)$ ? M : On considère le morphisme $f:K[X]\longrightarrow K[\alpha]$ qui à $P\in K[X]$ associe $P(\alpha)$. Alors l'image est bien $K[\alpha]$ par définition, et d'après le premier théorème d'isomorphisme on a que $K[X]/(\pi) \simeq K[\alpha]$ où $\pi$ est le polynôme minimal de $\alpha$ sur $K$. Or $K[\alpha]$ est intègre donc $K[X]/(\pi)$ est intègre donc est un corps par les mêmes raisons que précédemment. Ainsi $K[\alpha]$ est un corps qui est inclus dans $K(\alpha)$, on a alors l'égalité (après ce long interrogatoire, ce jury n'a plus parlé de l'oral). J : Quels sont les polynômes irréductibles sur $\mathbb{R}$. M : Les polynômes de degré 1 sont irréductibles. Et puis dans le plan il y a une propriété qui dit qu'il y a aussi les polynômes de degré 2 et 3 qui n'ont pas de racines dans $\mathbb{R}$.. J : Et des polynômes de degré 3 qui n'ont pas de racines dans $\mathbb{R}$. il y en a beaucoup ? M : Ah oui pardon, en fait grâce au théorème des valeurs intermédiaires, on sait que tout polynôme de degré impair possède au moins une racine réelle. Il reste à régler le cas des polynômes de degré pair. En fait on sait que si l'on a une racine complexe $z$ alors $\overline{z}$ est aussi racine. On peut donc factoriser par $(X-z)(X-\overline{z})=X^2 -2Re(z)X+|z|^2$ qui est un polynôme à coefficients réels. Ainsi on va pouvoir regrouper notre polynôme par paquets de 2. Donc tous les polynômes de degré $\ge 3$ sont réductibles sur $\mathbb{R}$. J : On regarde le polynôme $P(X)=X^4 +X+3$. Calculez la somme des puissances cinquièmes de ce polynôme. M : On veut calculer $\sum_{i=1}^{4}\lambda_i^5$. On a donc affaire à un polynôme symétrique, et l'on sait que l'on peut l'exprimer en fonction des polynômes symétriques élémentaires, ce qui va permettre d'utiliser les relations coefficients-racines. Pour trouver cette décomposition, on va y aller à tâtons. J : Oui mais si on vous demande puissance 15 et pas puissance 5 ? M : Effectivement ça va être compliqué. J : N'oubliez pas que les $\lambda_i$ sont les racines de $P$. M : On a donc que $\lambda_i^4 +\lambda_i+3=0$. On multiplie par $\lambda_i$ et on somme pour trouver $\sum_{i=1}^{4}\lambda_i^5 + \sum_{i=1}^{4}\lambda_i^2 + 3\sum_{i=1}^{4}\lambda_i =0$. On va donc devoir exprimer $\sum_{i=1}^{4}\lambda_i^2$ en fonction des polynômes symétriques élémentaires. J : C'est mieux comme ça parce que sinon on aurait tatonné longtemps pour les puissances 15. M : C'est vrai, j'avais clairement pas envie de le faire. Et même pour 5 d'ailleurs. J'ai fini le calcul pour trouver que $\sum_{i=1}^{4}\lambda_i^2=0$ et aussi que $\sum_{i=1}^{4}\lambda_i^5=0$. Euh mais attendez. . . J : Quel est le problème ? M : On a une somme de carrés qui est nulle. Ah mais non ces racines peuvent être complexes donc il n'y a pas de soucis. J : Qu'est ce que vous pouvez dire sur les racines réelles de ce polynôme du coup ? M : Si elles sont toutes réelles, alors elles sont toutes nulles. Or 0 n'est pas racine donc ce n'est pas possible. Comme ce polynôme est de degré 4, s'il a une racine réelle il en a forcément une deuxième. J : Comment on fait pour savoir si notre polynôme admet une racine réelle ? M : On peut d'abord regarder si il admet des racines rationnelles. J : Et si vous avez des outils d'analyse ? M : On peut utiliser le TVI. Pour ça on fait un tableau de variations. J'ai donc calculé le polynôme dérivé et fait un tableau de variation en distinguant les cas selon le signe du minimum de la fonction polynômiale associée. J : Très bien l'oral est fini.

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Il y avait un homme et une femme qui étaient très bienveillants et sympathiques. En revanche, comme je l'ai écrit précédemment, le membre du jury qui ne comprenait pas ma construction de $\mathbb{F}_q$ était très direct et incisif sur ses questions. D'autant plus que j'ai vérifié et tout ce que j'ai dit était bon. Donc heureusement que j'étais à l'aise sur ces notions et sûr de moi, car sinon il aurait très bien pû m'induire en erreur.

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.
Pas grand chose à dire, tout est très bien organisé. On a bien 3h de préparation, et avant de monter dans notre salle d'oral on a bien 10 minutes d'attente, ce qui permet de relire ses développements. Attention la place sur les feuilles est assez petite à cause des grandes marges, et sur la première page le bandeau prend beaucoup de place. Il faut donc être prêt à enlever des items du plan si nécessaire. Le temps des questions n'a duré que 27 minutes, j'étais assez surpris de sortir autant en avance.

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
J'ai présenté dans une première partie les définitions de multiplicité algébrique et analytique, en mentionnant leur équivalence, puis la définition des fonctions symétriques élémentaires et relation coefficient-racine, et enfin mon premier développement, les formes de Hankel. J'ai ensuite parlé d'extension algébrique de corps avec le Perrin, puis de nombres constructibles avec mon deuxième développement. Le jury a choisi les formes de Hankel, et ne m'a jamais parlé de nombres constructibles.. Les questions qui m'ont été posées : - Pourquoi la multiplicité analytique et égale à la multiplicité algébrique? (je me suis peut-être un peu embourbée dans ma démonstration, alors qu'il y avait plus simple), ils m'ont fait remarquer qu'il fallait un corps de caractéristique nulle pour que ma démo marche. - Quelle est la forme de Hankel du polynôme $X^3-aX^2 + bX -c$, en supposant connues les sommes de Newton? J'ai juste écrit la définition de la forme quadratique de l'énoncé sans aller plus loin, à mon avis, il voulait savoir si j'allais oublier les facteurs 2 ou non. - $X^n - X+1$ est-il scindé à racines simples? calculer $\sum_{\omega~racine} \frac 1\omega$ - Pouquoi un corps fini n'est jamais algébriquement clos? - Soit $P \in \mathbb Z[X]$ tel que $P(0) \ eq 0$ et $(*) : P(\omega) = 0 \implies |\omega| \leq 1$ 1) trouver $A \in \mathcal M_n(\mathbb Z) | \chi_A = P$ 2) MQ il n'existe qu'un nombre fini de $P \in \mathbb Z[X]$ vérifiant $(*)$ 3) conclure que les $\omega$ sont des racines de l'unité (pas fini, mais on n'était plus très loin) - Soit $x = (x_1,...,x_n) , y= (y_1,...,y_n) \in \mathbb C^n$ tels que, pour tout polynôme symétrique $P, P(x) = P(y)$. Montrer que $x$ et $y$ sont dans la même orbite pour l'action naturelle du groupe symétrique sur les n-uplets.

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Ils m'ont pas mal apporté d'aide au cours de l'entretien, sans pour autant que je sois passive. J'ai su réagir à chaque indice. J'ai d'ailleurs trivialisé la dernière question en un rien de temps, alors que la personne qui m'a posé la question avait peur qu'on n'ait pas le temps de finir, ce qui a eu l'air de beaucoup impressionner un autre membre du jury.

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.
Je me suis sentie très à l'aise durant cet oral, ce qui m'a beaucoup surprise, parce que tout au long de l'année, j'ai toujours eu un peu de mal à être à confiante à l'oral.

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
doublon accidentel, ignorez ce retour

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
On me demande de tester l'algorithme de Sturm sur un polynôme à 2 inconnues, de degré 3. Je fais toutes les divisions euclidiennes au tableau le jury avait l'air de les faire aussi sur un papier.. A la fin personne n'a trouvé le même résultat --> on passe à autre chose ! Petite remarque du jury sur le fait que les symétries vectorielles ne sont pas forcément diagonalisables en caractéristique 2. On me demande à quelle moment l'hypothèse de la caractéristique 0 intervient lors de la preuve de la caractérisation d'une racine d'ordre k avec le polynôme dérivé. Je galère comme un naze, ils m'aident beaucoup. Ils me demandent un contre ex si on est en carac p : il était dans mon plan. Enfin on me pose un exo de dénombrement d'un ensemble ( qui était l'ensemble des zéros de 3 polynomes à 2 indéterminés je crois) on me fait poser une application chelou et je devais montrer qu'en fait l'ensemble c'était l'image réciproque de 0 par cette application. Ca a dérivé sur les corps finis j'ai pas tout suivi...

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Extraordinairement gentil et aidant alors que j'étais trop naze.

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.
Pas vraiment, il y avait une erreur au tout début de mon développement que je n'avais jamais remarqué donc ça met pas à l'aise. J'ai beaucoup hésité et j'ai l'impression que le jury m'a pas mal aidé. Je ne m'attendais pas à avoir une telle note avec ce que j'ai fait. Comme quoi, ne vous découragez pas même si vous pensez avoir râté !!!!!!

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
Développement: On m'a demandé de justifier l'initialisation d'une récurrence et pourquoi fermé + borné => compact en dim finie Plan : Je n'avais pas top insisté dans mon plan sur la partie \"fonctions symétriques élémentaires\" donc ils ont fait un gros focus dessus durant l'entretien. Questions : - pourquoi parle-t-on de fonctions \"symétriques\"? - résolution d'un système avec 3 inconnus où il fallait utiliser les fonctions symétriques élémentaires (sans me le dire évidemment ;) ) - trouver les racines d'un polynôme de degré 3 sans racine évidente - f endomorphisme de E, un R-ev, tel que f²=Id. Montrer que E est de dim paire

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Très souriants dès le début, très encourageant et bienveillants tout du long.

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.
Préparation : le président du jury est présent et très rassurant lors de notre premier tirage, la salle des tirages est séparée de la salle de préparation, personne ne vérifie si nos livres sont annotés, on se ballade comme on veut dans les couloirs à la recherche des livres qu'on veut (et il y en a beaucoup !!) Jury : on nous prend nos leçons et tous nos brouillons à la fin de l'épreuve pour les jeter