150 - Polynômes d’endomorphisme en dimension finie. Réduction d’un endomorphisme en dimension finie. Applications.2026

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
Description du jury : Deux hommes (J1 et J2) et une femme (J3), très souriants et agréables. J1, l’homme qui m’a fait entrer me redonne les consignes après m’avoir demandé la leçon que j’ai choisie, et me dit que je peux me lancer quand je veux. Jury tout du long très agréable et avenant. Déroulement de l’oral : Défense de plan : Je commence par introduire l’intérêt de diagonaliser pour travailler avec des outils plus simples. Puis je présente de façon trop confuse l’algèbre K[u] et j’introduits les polynômes annulateurs et minimal. Je raconte des choses et donne des critères de diagonalisation mais je passe trop de temps dessus et c’est très confus, je me rends compte que je n’ai presque plus de temps. Je saute aux applications et j’en mentionne quelques-unes de plus que je n’ai pas intégré dans mon plan (équa. diff) puis conclus en disant « je suis désolée je n’ai même pas eu le temps de parler de trigonalisation ». Développement : le jury me demande quels sont mes deux développements. Je m’excuse de ne pas l’avoir dit à l’oral (décidemment, pas très contente de ma défense) puis je donne les deux développements (j’avais oublié d’encadrer le thm de Dunford, i.e. la moitié du développement {lemmes des noyaux + Dunford}…). Le jury demande {Réduction des endomorphismes normaux}. Je réalise le développement du thm en 12 minutes 15 et je décide donc de rajouter le corollaire matriciel avec les matrices unitaires. Je m’embrouille un peu et suis confuse quelques minutes entre A, matrice normale et u, endomorphisme canoniquement associé à P, lui, unitaire. Mais je retombe sur mes pieds et finis à 15 min 20. Questions : En lien avec le développement : J2 : Remontrer l’équivalence f est normal ssi ∀(x,y)∈E^2,⟨f(x)│f(y) ⟩=⟨f^* (x)│f^* (y) ⟩ Je le fais sans encombre et proprement. J2 : Redétaillez pourquoi, à la fin de la démonstration, l’endomorphisme associé canoniquement à la matrice de passage est un endomorphisme unitaire Si on l’écrit avec x = x1 e1 + x2 e2 … on le retrouve facilement. J2 : Mais sinon, on ne peut pas dire quelque chose de plus simple avec les bases ? Si, qu’elle transforme une base orthonormée en base orthonormée. J2 : Oui ok J1 : Quelles sont les applications de ce thm ? Les applications de ce thm sont plutôt celles de la version réelle de ce thm, le thm spectral, valable dans le cas des endomorphismes symétriques, qui se démontre comme ce thm à la différence près qu’on ne connaît pas l’existence d’une valeur propre, mais en fait dans le cas symétrique les vp sont réelles donc il en existe au moins une, puis le reste du developpement suit le même principe. Et ses applications sont très nombreuses : existence d’une racine carrée pour une matrice symétrique positive, thm de décomposition polaire, on l’utilise aussi quand on cherche l’enveloppe convexe d’On(R)… J1 : que dire de la réduction d’endomorphisme anti-symétrique ? Je prends quelques minutes pour y réfléchir… je dis qu’il faudrait que je l’écrive et que s’il attend une réponse immédiatement alors je ne l’ai pas en tête tout de suite. J1 : on va passer au plan alors. J3 : vous avez dit que l’idéal des polynômes annulateurs était engendré par UN polynôme. Vous pouvez préciser ? Oui j’ai dit un car je le prends unitaire, mais dans les faits il y en a plusieurs. J3 : C’est-à-dire plusieurs ? Et bien en fait je prends le polynôme minimal, c’est-à-dire celui qui est unitaire, et tous ses multiples non nuls engendrent aussi l’idéal. J3 : Ah donc il n’y en a qu’un ? Un seul qui est unitaire, oui. J1 : Vous pouvez démontrer que « u est diagonalisable ssi son polynôme minimal est sars » ? Oui, je commence à l’écrire au tableau. Je veux démontrer une équivalence donc je commence par le sens direct. Et là je bloque… Je dis que je sais le faire, qu’il faut que ça me revienne… Je dis que je vais alors me lancer dans l’autre sens, plus simple, que je fais directement avec le lemme des noyaux. Je reviens alors sur le sens qui m’a posé problème et j’écris la tête que va avoir le polynôme minimal : au moins scindé avec des puissances potentiellement, que j’aimerai pouvoir enlever. Je dis que là le lemme des noyaux ne va pas m’aider, car il va juste me redonner la décomposition des sous espaces caractéristiques. J1 : Oui donc vous, vous ne voulez pas les puissances, est-ce qu’on ne pourrait pas les enlever. Ah oui, en fait je pose P(X) ce polynôme sans les puissances, et je montre alors, sans savoir pour l’instant que c’est le polynôme minimal, qu’il annule bien u et on a alors montré le résultat. J1 : Ok oui, on passe à la suite. J2 : Est-ce que vous pouvez montrer que si F, s.e.v. de E est stable par u, et u trigonalisable, alors u restreint à F l’est aussi ? Je le fais sans encombre, avec le déterminant par bloc, me donnant que le polynôme caractéristique de uF divise celui de u, mais j’en oublie un peu ce qu’on voulait faire. J2 : et donc pour en revenir à la trigonalisation ? Ah oui, après le polynôme caractéristique de u est scindé donc comme celui de uF le divise, il l’est aussi et donc uF est trigonalisable. J2 : Ok. Ah oui, après le polynôme caractéristique de u est J2 : On prend A diagonalisable et on pose l’endomorphisme φ:M→AM-MA. Que dire de φ ? Ok on va avoir envie de montrer qu’il est diagonalisable. Je me vois mal exhiber sa matrice. J1 : Matrice qui serait de quelle taille ? n^4 J1 : Oui donc un peu gros En effet. Mais donc regarder son polynôme caractéristique me semble par raisonnable. J1 : Il serait de quel degré ? n^4. J1 : Sûre ? Euh, non. n² pardon. J1 : Oui donc encore une fois un peu gros… Là je patine.... J2 : et si on regardait un polynôme annulateur ? Sur φ:M→AM pour commencer. Je prends P = ∑▒〖akX^k 〗 qui annule φ, on a alors P(φ) = 0 = ∑▒〖akφ^k 〗 J2 : C’est quoi φ^k ? La composée de φ^k fois. J2 : Et là on peut pas l’écrire explicitement ? Ah si, ça fait AkM et donc après si P annule A alors P annule φ^(après quelques petites corrections sur P(φ) ou P(φ)(M)). J2 : Et ensuite que peut-on conclure ? Alors ça va faire la même chose pour la partie MA, on va avoir cette partie annuler mais je vais avoir un pb avec le φ de base car je ne connais pas ses puissances aussi facilement (remarque qu’ils n’ont pas entendue je pense car ils m’ont dit qu’on pouvait conclure maintenant, et en disant « ok on peut conclure » ils m’ont dit « ben non pas si vite »). Donc j’ai écrit φ²(M) = A²M -AMA -AMA +MA² mais j’ai encore un pb avec ces AMA qui ne s’annulent pas… J1 : c’est la fin on va devoir s’arrêter là. Ah déjà ? (très sincère, c'est passé très vite)

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Pas cassant et plutôt agréable.

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.
Déçue de la défense de plan, super mal organisée, à l’arrache, brouillon, même si j’ai introduit le sujet et l’intérêt de son étude, je pense que ce n’était vraiment pas glorieux, j’ai oublié de donner mes deux dvts, j’avais même oublié d’en encadrer un… Mais globalement super satisfaite. J’ai fait un super plan, très complet : j’ai rempli en totalité les feuilles, j’ai fait 51 items. J’ai fait un bon développement, j’ai répondu très bien aux questions de cours malgré le bug sur le sens direct du thm « u est diagonalisable ssi son polynôme minimal est s.a.r.s » et l’impasse sur l’exo qu’ils m’ont donné à la fin. En sortant j'espérais avoir au moins 12/13 voire plus.

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
Questions sur le dév : -Comment justifiez-vous que exp(N+M) = expNexpM si N et M commutent ? (argument à l'oral avec le binôme de Newton et le produit de Cauchy) -Vous avez dit qu'on peut aisément vérifier que l'exponentielle est de classe C^1, comment ? (j'ai justifié qu'elle était différentiable en 0 de différentielle l'identité, mais ensuite je me suis embrouillé pour montrer le caractère C^1 alors qu'il suffisait de dire qu'elle était C^infini comme somme d'une série entière) -Vous dites dans votre plan que l'exponentielle sur M_n(R) n'est pas surjective sur GL_n(R), avez-vous un contre-exemple ? (je mets du temps à en retrouver, ils m'aident en me faisant redire que dét expA = e^trA ; et donc que les matrices inversibles de déterminant négatif ne sont pas atteintes (quel type de raisonnement utilisez vous ? -raisonnement par l'absurde); ils me demandent un exemple concret de taille n, je donne une matrice diagonale avec que des 1 et un -1, je dis que c'est la matrice d'une réflexion orthogonale, on me demande à quelle condition elle est orthogonale, je bégaye (c'est si la base est orthonormée)) Ensuite j'ai un exo sur les matrices semi-simples (qui sont dans mon plan), où je dois dire à quelle condition la matrice 2x2 (a -b ; b a) est semi-simple ; c'est tout le temps le cas (car le polynôme caractéristique est irréductible dès que b est non nul, et c'est une homothétie si b=0). On passe ensuite au cas général de taille n, je dois montrer qu'une matrice est semi-simple ssi elle est semblale à une matrice diagonale par blocs formée de blocs de taille 1 et de taille 2 de la forme précédente. Il fallait se souvenir que le polynôme minimal d'une telle matrice est le PPCM des polynômes minimaux des blocs, ce que j'ai mis un certain temps à faire. Deuxième exo : calculer la puissance d'une matrice 2x2. J'ai utilisé une technique décrite dans le plan (qui vient du Mansuy premier chapitre) qui donne directement A^m = (coeff)A + (coeff)I , on m'a fait faire le détail des calculs (ce qui prend du temps avec les petites erreurs dues au stress).

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Plutôt bienveillant.

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
J’ai proposé en développement un autre « même des noyaux » faisant intervenir le PPCM et le PGCD, ainsi que la dualité (cf Carnet de voyage et algébrie de Caldero-Perronier) et ils ont choisi celui là plutôt que Dunford (comme d’habitude Dunford ras le bol !!) Questions : - est ce que ce développement n'est valable que en dim finie ? Finalement non à priori - redéfinir l'application transposée - montrer que P(transposée de u) = transposée de P(u) si P est un polynôme : bon jusque là ... - Montrer que Ker(transposée de u) = Im(u) orthogonal (au sens du dual) - montrer que (A+B) orthogonal = A orthogonal inter B orthogonal (au sens du dual) Tout ça c’était sûrement pour vérifier que je connaissais bien le peu de difficulté de mon développement .. - Une application de mon développement plutôt difficile avec des anneaux du type K[X]/(PQ) et un morphisme de cet anneau dans K[X]/(P) x K[X]/(Q) qui a un polynôme associe sa classe modulo P et modulo Q.. on m'a demandé quelle structure avait le noyau de ce morphisme (c'est un ideal) puis on m'a demandé de la calculer et c'était (P) inter (Q) et après on a posé un endomorphisme bizarre pour utiliser mon développement mais c’est trop flou et j’avais vraiment du mal à comprendre ce qu’ils voulaient.. - Donner un exemple de matrice 2x2 dont le polynôme caractéristique est pas scindé et donner sa décomposition de Dunford du type Semi simple + nilpotent : j'ai dit A = 0 1 -1 0 sa décomposition est A = A + 0 puisque le polynôme minimal de A est X^2 + 1 qui est irréductible donc A est semi simple - Cest quoi les sous espaces stables de la matrice posée ? Alors on voit que c'est un endomorphisme cyclique donc y'a autant de sous espaces stables que de diviseurs unitaires du polynôme minimal c'est à dire un seul qui est E tout entier - Et une preuve plus numérique sans utiliser les endomorphismes cycliques ? Une droite peut pas être stable sinon il y aurait une valeur propre donc il n'y a que E tout entier - Soit F l'ensemble des endomorphismes cycliques de E : quelle est la topologie ? (Ouvert, fermé ?) J'ai rien su dire ducoup il m'a dit de montrer que c'est ouvert .. Donc on pose x dans E et fx la fonction qui a u associe le déterminant de la famille (u^i (x)) Et l'union indexée par les x de E des images réciproques f^(-1)(C*) est un ouvert et c'est exactement l'ensemble des endomorphismes cycliques.

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Pas très souriant, parfois même en désaccord entre eux par rapport aux questions qu’on me posait. Cependant, pas cassant non plus, malgré tout ils ne m’ont pas non plus mis mal à l’aise !

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.
RAS, temps de préparation correct, j’avais prévu 1h30 pour le plan et 1h20 pour les développements et les premières phrases de l’oral. L’accès aux malles est simple

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
(Autre dvlpt: Résolution d'une équa diff ordinaire/ suite récurrente sachant factoriser le polynôme caractéristique. Exemple tiré du livre MP, Dunod j'intègre, Warusfel, Ramis, Ruaud, Moulin...) L'échange a commencé par des éclaircissements sur le dvlpt lui même. Bien justifier que la décomposition donné par le lemme des noyau est valable pour un sous-espace stable car les projecteurs sont donnés par des polynômes en l'endomorphisme. Ensuite, ils m'ont interrogé sur la - dimension de k[u], donner un majorant; - polynôme minimal d'un projecteur p, reconnaître que c'est semi-simple, sous-espaces stables de p - décomposition de Dunford d'un matrice 2 x 2, le même que \"PAYEUR\" ou bien avec un 2 à la place du 0. Diagonalisable puisqu'elle admet 2 valeurs propres, partie nilpotente nulle donc c'est directement sa décomposition de Dunford. - indice de nilpotence maximal pour un endomorphisme nilpotent, considérer un élément x dans E\ker(u^(r-1)) et la famille libre (x, u(x), u²(x)...). Appliquer u à différente puissance. - G sous groupe de GL_n(C), tq tout élément soit de carré l'identité. G Abélien, c'est donc un groupe de matrices qui diagonalise dans une même base, avec valeurs propres \pm 1. Considérer un isomorphisme de groupe Gl_n =Gl_m et conclure que m=n.

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Le jury m'a aidé quand j'en avais besoin et laissé réfléchir lorsque je le décidais. Il est rester assez neutre mais plutôt bienveillant.

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.
C'était un peu plus cool que ce que j'imaginais, le jury n'a pas pinaillé sur des détails de mon plan ni posé de question piège. Les oraux blancs organisé dans ma préparation m'ont donné une idée fidèle du déroulement le jour j. En revanche dans les dernières minutes de la préparation, je trouve que les messages des surveillants (pensez à prendre votre fiche ou ranger les livres dans le bac ou aller aux toilettes ou que sais-je) sont franchement gênant, ce sont des moments important de révision des développement. On doit rendre nos brouillons (où on est sensé écrire nos dvlpt). Je ne sais pas si cela compte pour l'évaluation.

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
D'abord des questions pour éclaircir des points du développement Questions : 1. Dimension de K[u] (degré du polynome minimal) et preuve (j'ai déterminé K [u]~K [X]/($\pi_u$)}, mais plus simplement à l'aide du polynôme minimal, les puissances supérieures au degré du polynôme minimal s'écrivent avec un degré plus petit) 2. Donner la décomposition de Dunford de $\begin{pmatrix}1&2\\0&3\end{pmatrix}$ 3. Preuve de la propriété : en dimension finie il existe toujours un polynôme annulateur (avec l'aide du jury) 4. Question sur la division euclidienne de deux polynômes (j'ai écrit A=BQ+R mais ils attendaient le nom?? L'écriture de la division avec les conditions sur le degré du reste a semblé satisfaire le jury) 5. Exemples de polynôme annulateur (avant de repondre ils ont conseillé de prendre des exemples issues de la géométrie). J'ai donné la symétrie axiale dans l'espace en donnant la matrice diagonale dans une base adaptée (ils ont demandé pourquoi u est diagonalisable évident avec la matrice donnée) 6. Connaissez vous ce qu'est un projecteur ? Oui! pop=p donc $x^2-x$ est annulateur 7. Exercice : G sous groupe fini de $GL_2(\mathbb{C})$. Que peut on dire de G? (Astuce : les valeurs propres sont les racines de l'unité)

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Bienveillant, le jury a donné plusieurs indications pour répondre aux questions qui m'ont posé problème.

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.
Déroulement de la préparation Le temps de préparation commence à l'ouverture des sujets dans la \"salle de tirage\". Il faut écrire les intitulés des sujets sur une feuille A5 Il faut ensuite se déplacer jusqu'à la salle de préparation avec ses affaires personnelles dans une caisse en plastique. Les plans sont ramassés 10 minutes avant la fin des 3h pour les photocopies.

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
Fluide. Des questions très basiques au début et un exercice plus difficile à la fin (j'ai eu besoin d'un peu d'aide pour l'exercice).

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Gentil, aidant. Cependant, ils ont fait deux fautes en essayant de me poser des questions, cela m'a un peu destabilisé.

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
-Retour rapide sur le développement pour quelques question de notation (l'un des profs n'aimait pas ma façon d'introduire les endomorphismes d et n), ils ont voulus savoir si j'utilisais bien la décomposition de Dunford pour montrer la surjectivité de l'exponentielle. -Des questions sur le plan, j'avais oublié de finir ma définition de valeur spectral et ils m'ont fais remarqués qu'en dimension finie (ie dans le cadre de la leçon) valeur spectral et valeur propre c'est la même chose (j'aurais pas du en parler quoi). Ils m'ont demandés comment je justifiais l'existence de l'exponentiel d'un endomorphisme (j'ai un peu galéré). Ils m'ont demandés de démontrer quelques propositions du plan (avec plus ou moins de réussite), et ils sont revenus sur quelques critères de diagonalisation aussi je crois. Pour finir j'ai eu un exo où il fallait trouver la décomposition de Dunford d'une matrice et en déduire que l'application qui associe à une matrice de Mn(C) sa partie nilpotente était non continue.

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Le Jury était plutôt souriant, jamais cassant et a aidé beaucoup. Globalement l'oral était plutôt agréable.

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.
On avait plus de 3h entre le tirage du sujet et la fin de la composition (3h05 à 3h10), sinon pour ce premier jour les surveillant ont un peu galérés pour la mise en place.