159 - Formes linéaires et dualité en dimension finie. Exemples et applications.2026

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
J'ai planté le développement, je n'avais pas retrouvé la ref en livre pendant la préparation. Retour sur le dev, ils m’ont fait reclarifier que la FAMILLE des u^i(x) est libre et que le VECT est stable retour sur le lemme 2 mais ça ne l’a pas sauvé Retour sur la récurrence, j’ai bien dit récurrence fort, m’ont fait extraire le Pn explicite (quantifie sur l’ensemble de tous les K-ev de dim n et de tous les nilpotents) Discussion sur l’initialisation, j’ai dit que techniquement une récurrence forte s’autoinitialisait sur l’ensemble vide, ou que alternativement j’aurais pû prendre l’espace vectoriel de dim 0 mais préférant éviter cette abstraction je préférais initialiser sur les nilpotents d’indice maximal quitte à avoir une initialisation qui ressemble à l’hérédité question suivante, savez-vous s’il y a unicité dans la décompo de Jordan à permutation près, j’ai expliqué les noyaux itérés (avec perte de temps) NOMBREUSES coquilles du plan corrigées progressivement Une question de différentielle gradient, dont j’ai oublié le détail, réponse correcte Question du jury effrayant : quand vous avez une base de E comment calculer la base associée de E*, R- coordonnées et dual coordonnées mais vous voulez plus général j’imagine ? Q- oui avec un calcul rien que dans R2 par exemple ? (autre jury à son oreil vous voulez aller où je ne vois pas l’objectif de la question) R-Je prends la base diagonale (1,1) (1,-1) base duale matrice ligne (½,-½),(½,½) Q- Plus globalement, sans astuce un CALCUL général quand on a une base gentille et une base complexe pour trouver la base duale complexe R-On regarde la matrice de passage P qui exprime l’identité dans les bases B,B’ tP devient la matrice de l’identité dans la base B’*,B* ce n’est pas ce qu’on veut on exprime le simple à partir du compliqué cependant t(P(-1)) convient. Ils sont contents. Une dernière question pour montrer que les évaluations en n points distincts sont une base du dual de Rn[x] réponse avec interpolateur de Lagrange puis FIN (j’ai oublié quelques questions) Conclusion : impossible de sauver un oral avec un mauvais développement

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
On sent qu'ils aient surpris par le mauvais niveau, mais ils n'étaient pas agressifs.

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.
Très surpris d'avoir deux leçons sur des thèmes aussi proches

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
Plan : I) Formes linéaires, espace dual E* II) Orthogonalité dual et transposée d'une application linéaire III) Application aux formes quadratiques IV) Annexe Développements : -> D1 : Dual de Mn(K) et hyperplans dans Mn(K) D2 : Théorème de Sylvester Questions sur le développement : J : Auriez-vous d'autres résultats qui relie les formes linéaires entre-elles ? C : Je ne voyais pas où le jury voulez m'emmener, mais j'ai répondu le théorème de RIesz en dimension infinie et le méthode de réduction des formes quadratiques de Gauss. C'est ce qu'ils attendaient. J : Dans ce cas, à quoi sert votre développement ? C : J'ai un peu paniqué, et répondu, sur R ou C à rien, vu que Riesz permet de conclure immédiatement, cependant je montre le résultat sur un corps quelconque, donc le résultat fonctionne sur Fq, Q ou tout autre corps. Ils étaient convaincu. J : Pourquoi avez-vous Tr(AXY)=Tr(XAY) ? Est-ce vrai que Tr(ABC)=Tr(BAC) ? Trouvez un contre-exemple dans M3(K) simple. C : J'ai dis une bêtise avant de me reprendre mais j'ai réussi, cependant ma réponse à engendrée la question qui suit, J : Calculer EijEkl où (Eij)_ij est la base canonique de Mn(K) ? Questions sur le plan : J : Vous avez parler de la formule de Taylor polynomiale vous pouvez le montrer ? J : Démontrer que l'intersection des noyaux de n formes linéaires est inclus dans celui d'une autre forme linéaire alors cette dernière est combinaison linéaires des autres. J : Pouvez-vous expliquer le rapport entre les formes quadratiques et les formes linéaires ? C : Le théorème de réduction des formes quadratiques en somme de formes linéaires au carrés de Gauss J : Dans votre développement 2, vous démontrer le théorème de Sylvester, l'unicité ou la caractérisation par la max dim ? C : Je pense que je n'ai pas étais assez explicite pendant mon 6min (pourtant mes dév était écrit au tableau et encadrés dans mon plan)... J : Donner une méthode à l'oral pour trouver une base q-orthogonale ? C : Une fois de plus, la méthode de réduction des formes quadratiques de Gauss. J : Pour aller plus loin : Est-ce que vous connaissez d'autre notion de dual ? Si oui les comparer. Un exemple en dimension finie et infinie ? C : C'était le fin de l'oral j'ai juste eu le temps de dire le dual topologique et qu'il y avait une inclusion et égalité seulement en dim finie.

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Deux hommes, une femme. Tous très gentils et qui m'aidait beaucoup. J'ai eu un observateur également.

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.
J'ai fait l'erreur de rédiger mes développements à la fin de la préparation ce qui m'a stressé. Je vous conseille de commencer par les développements, puis le plan et enfin la relecture de certaines preuve, 3h c'est court vraiment... surtout en pleine canicule.

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
Q) Écrire le théorème de Carathéodory, rejustifier (c'est une partie de mon dev) comment on l'utilise pour montrer que l'enveloppe convexe d'un compact est compact. Q) Précisions supplémentaires sur le théorème de projection sur un convexe fermé que j'utilise (par exemple quelle sont les hypothèses, pourquoi on peut l'appliquer... Q) J'ai dis que j'utilisais la décomposition polaire étendue car ma matrice n'était pas nécessairement inversible, on m'a donc demandé de donner une idée de la preuve de pourquoi on peut étendre Q) On prend trois formes linéaires sur R^3 définies par phi_1(x,y,z)=x+y+z, phi_2(x,y,z)=x-y et phi_3(x,y,z)=x-z. Donner la base antéduale. R) Les calculs ne se passent pas bien, on m'a arrêté avant la fin Q) Est-ce que toute forme linéaire peut s'exprimer indépendamment de la base en fonction de la trace ? R) phi(A) = Tr(B^TA) pour un certain B (thm de Riesz) Q) En fixant B=J_r la matrice avec des 1 sur la diagonale pour les r premières lignes et des 0 sinon, montrer qu'il existe une matrice inversible dans le noyau de la forme linéaire associée. Q) Que dire si on prend une matrice B quelconque maintenant ? Q) Montrer que tout endomorphisme de C^n admet un hyperplan stable. Q) Soit (l_1,...,l_p) et (m_1,...,m_q) des formes linéaires sur R^n telles que sum_{i=1}^nl_i^2=\sum_{j=1}^qm_j^2. Exprimer les l_i en fonction des m_j

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Ils sont bienveillants.

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.
Aucun imprévu, tout était indiqué clairement.

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
Questions sur le développement : - J'avais un petit problème de quantificateur écrit au tableau, on me l'a fait relevé et j'ai immédiatement corrigé. - On m'a demandé lorsque j'effectue une \"récurrence sur la dimension\" de quel type de récurrence il s'agissait. Je ne comprenais pas la question j'ai donc explicité quel était l'hypothèse de récurrence de manière plus précise, mais le jury m'a fait soulevé que c'est un type de raisonnement par récurrence particulier : j'ai compris qu'ils voulaient que je dise qu'il s'agissait d'une récurrence forte. - J'ai utilisé le lemme des noyaux dans mon développement : on m'a demandé de l'énoncer précisément. - Application 1 : Comment montrer à partir de la décomposition de Jordan qu'une matrice est semblable à sa transposée. - Application 2 : Montrer que si u admet un espace stable de dimension k alors u admet un espace stable de dimension n-k. J'ai compris l'argument pour l'application 2 mais j'ai eu du mal à le formaliser, le jury m'a un peu aidé mais ne s'est pas plus attardé puis on est passé aux questions sur le plan. Questions sur le plan / Exercices : Q : Calculer la dérivée n-ième en 0 sur factorielle n de X^k (pour 0 <= k <= n). Comment interpréter le résultat en terme de dualité ? R : Question bien réussie. Cela donne le symbole de Kronecker, cela signifie que la famille de formes linéaires considérées est la base duale de la base canonique. D'où la formule de Taylor... Q : Montrer que u est diagonalisable si et seulement s'il existe n hyperplans d'intersection nulle stable par u. R : Question bien réussie avec une indication pour le sens réciproque. Le jury m'a demandé, pour m'aider, la dimension d'une intersection d'hyperplans. Q : Dans le plan, il est écrit que pour toute forme linéaire phi sur Mn(K) il existe une matrice A tel que pour tout M, phi(M) = tr(AM). Que dire de l'application phi -> A. Quel interprétation peut-on en faire dans le cas K = R ? R : Question bien réussie. Il s'agit d'un isomorphisme. Dans le cas K = R, la réponse attendue était le lien avec le produit scalaire canonique sur Mn(R). Q : En dimension infinie, que dire de l'application définie dans le théorème de Riesz ? R : Question bien réussie. L'application est injective mais non surjective. Le jury ne m'a pas demandé de contre-exemple. Q : Que dire de (ExF)* ? R : J'ai dit que j'imagine que c'est isomorphe à E* x F*. Pour le montrer j'ai essayer de donner un isomorphisme mais j'ai un peu galéré à le construire. Le jury m'a donné comme indication : quelle est la dimension de ExF et comment le montrer ? Je suis parti sur une mauvaise piste sur la démonstration et l'oral s'est terminé là dessus.

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Jury très sympathique, qui met en confiance et donne pas mal d'indications.

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.
Oui je n'ai pas eu de surprise.

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
Je suis passé en 2021, pas en 2020 mais le site ne permet pas d'effectuer de retour pour cette année au moment où je l'écris. Questions sur le développement : 1) réexpliquer le lemme sur les formes linéaires nécessaire à la démonstration du théorème comme si je devais le faire devant une classe 2) ce dernier est-il toujours vrai si les formes linéaires ne sont pas indépendantes ? 3) exemple ou l'espace tangent n'est pas un espace vectoriel ? Je n'en avais aucune idée donc le membre du jury m'a demandé de considérer un lemniscate, et notamment où ça clochait (le point du centre ne permet pas de créer un $C^1$ difféomorphisme dans son voisinage, problème d'injectivité) Autres questions : 1) donner un exemple où la famille duale n'est pas une base (prendre $\mathbb{R}[X]$, la base des $(X^n)$ et la forme linéaire $P \mapsto P(1)$) 2) faire l'application des extrema liés à la quadrique (Exo Directions principales d'une quadrique p408 dans le PGdCD de Rouvière, 4e édition) 3) quel rapport entre la leçon et la différentielle ? 4) déterminer le gradient du déterminant (je ne suis pas allé au bout, mais j'ai plus ou moins compris que c'était la comatrice) 5) l'application $M \mapsto \Phi_M : X \mapsto Tr(XM)$ est un isomorphisme de $M_n(\mathbb{R})$ vers son dual. Quelle est sa norme ($M_n(\mathbb{R})$ est muni de la norme de Frobenius) ? (c'est une isométrie) --- u est maintenant un endomorphisme d'un ev de dimension finie -- 6) rapport entre Frobenius et les formes linéaires ? \"Démontrer\" la partie où il existe un supplémentaire stable au sous espace engendré par un vecteur u-maximal. Ils voulaient juste la formule que l'on peut trouver dans le livre de G. Berhuy : Algèbre, le grand combat tout en haut de la page 1020 (deuxième édition) 7) démontrer l'existence d'un vecteur u maximal

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Le jury était extrêmement poli, courtois, me disait une petite phrase lorsque visiblement je n'avançais pas ou que j'allais faire une grosse c***rie alors que j'étais près du but. Surtout réfléchir à voix haute qu'ils voient bien où ça coince pour qu'ils vous débloquent (enfin, s'ils ont envie...).

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.
Rien à signaler, organisation absolument impeccable.

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
Questions sur le plan, ils m'ont fait corrigé une bébé erreur. Et sur mes annexes (pivot de Gauss pour obtenir des équations de sev) Detailler un point de mon développement. Exos : - Prouver la formule de changement de base dans la base duale - Montrer que tout endomorphisme d'un C-ev de dimension finie admet un hyperplan stable (bizarre qu'ils m'aient demandé celui là vu mon plan qui mettait en avant pas mal d'application de la transposition déjà) - l'exo classique sur les intersections d'hyperplan (que j'ai oublié de rajouter dans mon plan..) - montrer à la main (sans les bases antéduales), que deux formes linéaires définissent le même hyperplan ssi elles sont proportionnelles avec un coeff non nul

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Le plus neutre du monde possible.

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.
Je voulais les titiller avec Hahn Banach (j'avais révisé la preuve) mais ils en ont pas parlé. Bon oral cependant je pense !