207 - Prolongement de fonctions. Exemples et applications.2022

Rapport du jury 2019

Cette leçon de synthèse offre de très nombreuses orientations possibles et le choix du niveau auquel se place le candidat doit être bien clair. Il ne faut pas hésiter à commencer par des exemples très simples tels que le prolongement en 0 de la fonction $x\mapsto \sin(x)/x$ avec des exemples d’utilisations, mais il faut aller plus loin que le simple prolongement par continuité. Trop de candidats ne connaissent pas bien les résultats élémentaires autour du prolongement par continuité en un point d’une fonction d’une variable réelle, ou les résultats autour du prolongement $C^1$ (lorsque la dérivée a une limite par exemple). $\\$ Pour aller plus loin, le prolongement analytique relève bien sûr de cette leçon, et des exemples sur des fonctions classiques ($\zeta$,$\Gamma$,...) seront appréciés. On peut également parler de l’extension à $L^2$, voire à l’espace des distributions tempérées, de la transformation de Fourier. Le théorème de Hahn-Banach, dans le cas séparable voire simplement en dimension finie, peut être un exemple de résultat très pertinent. La résolution d’un problème de Dirichlet, correctement formulé, associé à une équation aux dérivées partielles classique, vu comme prolongement de la donnée au bord, peut être envisagée.

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Rapport du jury 2019

Rapport du jury 2017

Il ne faut pas hésiter à commencer par des exemples très simples tels que le prolongement en 0 de la fonction $x \longmapsto \frac{\sin(x)}{x}$, mais il faut aller plus loin que le simple prolongement par continuité. Le prolongement par densité de certains résultats (comme la continuité de l’opérateur de translation dans $L^p$)\ret le prolongement analytique relèvent bien sûr de cette leçon. Le prolongement éventuel de la somme d’une série entière sur le bord du disque est une notion qui doit être maîtrisée. \r\rPour aller plus loin, on peut par exemple parler de l’extension à $L^2$ de la transformation de Fourier. Le héorème de Hahn-Banach, dans le cas séparable, peut être un exemple de résultat très pertinent.

Rapport du jury 2016

Il ne faut pas hésiter à commencer par des exemples très simples tels que le prolongement en 0 de la fonction $x \longmapsto \sin(x)/x$ , mais il faut aller plus loin que le simple prolongement par continuité. Le prolongement par densité et le prolongement analytique relèvent bien sûr de cette leçon. Pour aller plus loin, on peut par exemple parler de l’extension à $L^2$ de la transformation de Fourier. En ce qui concerne le théorème de Hahn-Banach, le candidat n’en donnera la version la plus générale que s’il peut s’aventurer sur le terrain délicat du lemme de Zorn. Rappelons que l’on peut aussi s’en dispenser pour justifier le théorème de Hahn-Banach de façon plus élémentaire dans le cas séparable.

Rapport du jury 2015

Il ne faut pas hésiter à commencer par des exemples très simples tel que le prolongement en la fonction $x \longmapsto \frac{\sin(x)}{x}$. Les candidats exploitent rarement toutes les potentialités de cette leçon très riche. Le jury se réjouirait aussi que les candidats abordent les notions de solution maximale pour les équations différentielles ordinaires et maîtrisent le théorème de sortie des compacts.Le prolongement analytique relève bien sûr de cette leçon ainsi que le prolongement de fonctions $C^infty$ sur un segment en fonctions de la même classe, le théorème de Tietze sur l'extension des fonctions continues définies sur un sous-ensemble fermé d'un espace métrique et la transformation de Fourier sur $L^2$.En ce qui concerne le théorème d'Hahn-Banach, le candidat n'en donnera la version en dimension infinie que s'il peut s'aventurer sans dommage sur le terrain délicat et très souvent mal maîtrisé du lemme de Zorn. Il vaut mieux disposer d'applications pertinentes autres que des résultats classiques abstraits sur les duaux topologiques.

Rapport du jury 2014

Les candidats exploitent rarement toutes les potentialités de cette leçon très riche. \r\rLe jury se réjouirait aussi que les candidats abordent les notions de solution maximale pour les équations différentielles ordinaires et maîtrisent le théorème de sortie des compacts. \r\rLe prolongement analytique relève bien-sûr de cette leçon ainsi que le prolongement de fonctions $\mathcal{C}^\infty$ sur un segment en fonctions de la même classe, le théorème de Tietze sur l'extension des fonctions continues définies sur un sous-ensemble fermé d'un espace métrique, la transformation de Fourier sur $L^2$ et l'extension des fonctions Lipschitziennes définies sur un sous-ensemble (pas nécesairement dense) d'un espace métrique. \r\rEn ce qui concerne le théorème d'Hahn-Banach, le candidat n'en donnera la version en dimension infinie que s'il peut s'aventurer sans dommage sur le terrain très souvent mal maîtrisé du lemme de Zorn. Il vaut mieux disposer d'applications pertinentes autre que des résutats classiques abstraits sur les duaux topologiques. \r

Développements

5	Prolongement de la fonction Gamma d'Euler
5	Chemin continu de projecteurs
5	Représentation des fonctions lipschitziennes
5	Densité des polynômes orthogonaux et contrexemple
5	Équation fonctionnelle de la fonction zêta de Riemann
5	Prolongement analytique le long d'une courbe
5	Théorème de Fourier-Plancherel (via les espaces de Schwarz)
5	Prolongement de la fonction Zeta de Riemann
5	Prolongement d'une norme définie sur Z^2
5	Théorème de prolongement de Tietze
5	Prolongement d'applications uniformément continues définies sur une partie dense
5	Etude de l'espace L1 dont la transformée de Fourier est L1
5	Théorème de Fourier-Plancherel
5	Inégalité de Hardy
5	Théorème de Wielandt
5	Hahn Banach (version analytique) en dimension finie
5	Lemme de division et applications
5	Théorème de prolongement analytique et fonction caractéristique de la loi normale
5	Théorème de prolongement des fonctions uniformément continues
4	Théorème des lacunes d'Hadamard
4	Densité des polynômes orthogonaux (base hilbertienne)
4	Théorèmes d'Abel angulaire et taubérien faible
4	Une version du théorème de Muntz
4	Prolongement fonction Gamma d'Euler (+formule de Weierstrass)
4	Racine carrée de la primitivisation (version opérateurs)
4	Fonction Gamma
3	Méthode de Laplace
3	Théorème de Borel
3	Caractères linéaires continues de U
2	Prolongement des caractères
1	Abel angulaire et Taubérien faible
1	Dirichlet (série de Fourier)
1	Principe des zéros isolés
1	La fonction de Fabius : une fonction C^infini et non-analytique

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Mis à jour le 14.05.17

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Petit guide de calcul différentiel

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Retours

Utilisateur : Gontier | Année : 2018

Leçon choisie : 1287

Autre leçon : Espérance, variance et moments d’une variable aléatoire.2019

Développement choisi par le jury : Théorème de Weierstrass (par la convolution)

Autre développement proposé : Pas de réponse fournie.

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
Il y a eu plusieurs questions sur le dév., notamment que se passe-t-il si la fonction est continue sur R, pourquoi la limite uniforme de polynome sur R est encore un polynôme, expliciter le changement de variable affine de la fin et justifier pourquoi ça marche. Pour les autres questions, elles étaient autour des notions de prolongements de solutions d’une EDO. Je n’ai réussi aucune de leurs questions sur ce sujet et le niveau des questions ne descendait pas, je suis resté bloqué la quasi-totalité de l’échange. Sur la fin, j’ai eu une question sur l’existence d’un prolongement d’une fonction k-lipschitzienne sur ]0,1] à laquelle j’ai difficilement répondu que c’était grâce au prolongement des fonctions uniformément continues (j’étais assez démoralisé du désastre sur les EDO) puis une finale question à la volée était sur la démo du prolongement des fonctions Unif continue à laquelle j’ai bien répondu.

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Le jury était neutre, juste un en particulier était même assez sec.

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

Note obtenue : 10.0

Références:

Utilisateur : Corentin | Année : 2018

Leçon choisie : 1287

Autre leçon : Variables aléatoires discrètes. Exemples et applications.2025

Développement choisi par le jury : Densité des polynômes orthogonaux (base hilbertienne)

Autre développement proposé : Pas de réponse fournie.

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
D'abord des question sur le développement : dessiner le domaine de prolongement de la fonction considérée, j'avais fait une erreur il fallait considérer une bande et non un demi plan, j'ai pu la corriger. Puis comment on montre l'injectivité de la transformée de Fourier, et trouver une constante $a$ qui convient pour appliquer le théorème pour plusieurs fonctions poids. Sur le plan, on m'a demandé de montrer le théorème de la limite de la dérivée, avec indications. Ensuite justifier la présence de la proposition qui dit que l'opérateur de translation $x \mapsto \tau_x f$ est uniformément continu pour $f$ dans $L^p$, la réponse n'a pas eu l'air de convaincre. Ensuite j'avais marqué \"il n'existe pas de solution globales à l'équation $y'=y^2$\", ils m'ont demandé de corriger : \"il existe des solutions qui ne sont pas globales\" : les donner. Dans le même thème on considère $y'=y(1-y)$ avec donnée initiale dans $]0,1[$, que peut-on en dire ? Déjà il existe une unique solution maximale. Ensuite je l'ai résolue avec la méthode des équations autonomes. Ils m'ont demandé de retrouver le fait que la solution est globale et tend vers 1 en l'infini sans résoudre : appliquer le théorème de sortie de tout compact, la dérivée est positive donc la fonction est croissante..

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Jury assez neutre, l'un avait souvent l'air peu convaincu de mes réponses.

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

Note obtenue : 16.0

Références: