Suites de Sturm
Soit $P \in \mathbb{R}[X]$ et $a < b$ tel que $P(a) \ot= 0$ et $P(b) \ot=0$. Le nombre de racines réelles distinctes de $P$ dans $[a,b]$ est $V(a) - V(b)$ où $V$ est une fonction définie à l'aide des suites de Sturm de $P$.\r\rUne suite de Sturm est définie ainsi : on pose $S_0 = P$ et $S_1 = P'$. Pour tout $i \ge 2$, on définit $S_i$ par récurrence par la formule $S_{i-1} = A_i S_i - S_{i+1}$ avec $deg(S_{i+1}) < deg(S_i)$ tant que c'est possible. On définit \r\[\rV(x) = \{ (i,j) \colon 0 \leq i < j \leq p, S_i(x) S_j(x) < 0 \text{ et } S_k(x) = 0 \text{ si } i < k < j \}\r\]\r\r
| Qualité | Numéro | Titre |
|---|---|---|
| 5 | 144 | Racines d’un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.2025 |
| 5 | 226 | Suites vectorielles et réelles définies par une relation de récurrence $u_{n+1} = f(u_n)$. Exemples. Applications à la résolution approchée d’équations.2025 |
| 4 | 142 | PGCD et PPCM, algorithmes de calcul. Applications.2025 |
Utilisateur : Marstelle
*Mes développements n’ont pas été pensés pour être partagés au départ, vous excuserez mon écriture et mes notations un peu brouillonnes. Soyez vigilants sur les coquilles/erreurs possibles et critiques sur ce que vous lisez. N’hésitez pas à me contacter pour des clarifications.
*La plupart de mes dévs contiennent un plan et un rappel des énoncés, pour être au clair sur ce qu’on a à disposition et ce qu’on veut faire.
*Les recasages inscrits sur le document sont les numéros de 2023/2024.
Cette version est complètement revisitée (merci à \"tchen\" pour son aide considérable). Il n'y a donc pas de référence et les erreurs sont possibles.
Références :
Utilisateur : tchen
Il se case dans 142 et 144 donc ça me suffit amplement. Il est pas dur mais faut bien le préparer et surtout être propre et détailler les zones d'ombres du FGN. Ne pas hésiter à le tester sur un polynôme de degré 3 pour illustrer le théorème.
Références :
Oraux X-ENS Algèbre 1 - Francinou, Gianella, Nicolas
Utilisateur : Nicolas L
Un brin court mais original.
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Oraux X-ENS Algèbre 1 - Francinou, Gianella, Nicolas
Utilisateur : Admin
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Oraux X-ENS Algèbre 1 - Francinou, Gianella, Nicolas