Théorème de Perron-Frobenius pour les matrices positives irréductibles et application aux chaînes de Markov

Il est question dans ce développement de montrer que si $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ est positive et irréductible alors : \r\r1) $\rho(A) > 0$ et $\rho(A) \in \text{Sp}(A)$, \r2) La valeur propre $\rho(A)$ est simple (i.e. elle est de multiplicité algébrique égale à 1), \r3) L'espace propre $E_{\rho(A)}(A)$ est engendré par un vecteur propre strictement positif, \r4) Si $A$ est strictement positive, alors $\rho(A)$ est l'unique valeur propre de module maximal. \r\rÀ cela s'ajoute une application aux chaînes de Markov : Si $(X_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est une chaîne de Markov irréductible à valeurs dans un espace d'états fini $E$, de matrice associée $P$ alors \r\r1) Il existe une unique probabilité invariante $\mu$ pour la dynamique issue de $P$, et cette mesure charge tous les éléments de $E$, \r2) Si de plus la chaîne est apériodique, alors :\r$$\rP^k \xrightarrow[k \to +\infty]{} \begin{pmatrix}\r\mu \\\r\vdots \\\r\mu\r\end{pmatrix}\r$$\roù on a représenté la mesure $\mu$ comme un vecteur ligne. En particulier, quelle que soit la loi de $X_0$, $(X_n)$ converge en loi vers la probabilité invariante $\mu$.