204 - Connexité. Exemples d’applications.2026

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
Pendant mon développement j'ai fait plusieurs coquilles que j'ai corrigé au fur et à mesure que je les voyais. Une membre du jury m'a dit au début des questions qu'elle avait vu plusieurs coquilles mais qu'il lui semblait que j'avais tout corrigé donc on pouvait passer aux questions. Ils ont commencé par quelques questions sur mon développement : justifier que A' est une union de boules ouvertes, réexpliquer les inégalités et l'existence d'un terme de la suite dans les points fixes de f dans l'application. Ensuite, ils m'ont fait faire les exemples de mon plan ou des choses proches de ces exemples: Exemple de l'adhérence de {(x,sin(x)), x entre 0 et1} qui est connexe pas connexe par arcs, pourquoi connexe (image d'un connexe par une fonction continue puis on prend l'adhérence), idée de la preuve de pas connexe par arcs (cf exo 1 de connexité dans le queffelec de topologie) Pourquoi deux intervalles de natures différentes ne sont pas homéomorphes ? Pourquoi R et R^2 ne sont pas homéomorphes ? on enlève un point dans chaque et ils n'ont plus la même connexité Est-ce que l'image réciproque d'un connexe est connexe ? Non, contre-exemple ? Une fonction constante partant d'un ensemble non connexe. J'avais mis l'exercice 4 de connexité du gourdon et ils m'ont demandé ce qu'il se passait en dimension 3 ou 4 : en dimension 3 on est sur une sphère qui est connexe par arcs donc on a le même résultat en raisonnant de la même façon. Ensuite ils m'ont donné deux exercices. Pour le premier, on prend f : U -> U avec U un ouvert connexe de C tel que fof=f. Montrer que f est constante ou nulle. Ils m'ont vraiment beaucoup aidé pour cet exercice en me donnant des indications à plusieurs étapes et le théorème de l'application ouverte que je ne connaissais pas (l'image d'un ouvert par une fonction holomorphe est un ouvert). Pour les idées de démonstration il faut supposer f non nulle, dériver l'égalité, utiliser le théorème de l'application ouverte et le théorème de prolongement analytique, primitiver et montrer que la constante est nulle (peut-être pas exactement dans cet ordre). Ils m'ont demandé de préciser les hypothèses du théorème de prolongement analytique donc je pense qu'ils voulaient surtout que j'ai l'idée d'utiliser ce théorème et de savoir l'utiliser. Deuxième exercice : existe-il une fonction continue envoyant les rationnels dans les irrationnels et les irrationnels dans les rationnels ? J'ai essayé de trouver un exemple mais je me suis rendue compte que aucune idée ne marchait (et que ça n'utilisait pas la connexité) donc j'ai fini par dire que ça ne devait pas être possible. Ils m'ont demandé les composantes connexes de Q (les singletons) et les composantes connexes dénombrables de R\Q (les singletons toujours) puis qu'on montrait que ce n'était pas possible comme ça mais le temps était fini. Mon plan : I Espaces connexes 1) Généralités 2) Stabilité 3) Composantes connexes 4) Connexité par arcs II Passage du local au global III Applications 1) Fonctions et suites (DEV Lemme de la grenouille) 2) Espaces non homéomorphes 3) Espaces de matrices (DEV GLn dense ouvert connexe)

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Le jury était très gentil, souriant et encourageant.

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.
Je n'ai eu aucune question sur ma partie connexité des espaces de matrices (j'aurais bien aimé) et aucune preuve de propriétés ou théorèmes de cours à faire.

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
Développements proposés : - Prolongement analytique et existence des points singuliers au bord du disque de convergence d’une série entière - GLn(C) est dense ouvert connexe de Mn(C) Ils ont choisi le premier. Questions : -prouver le corollaire du prolongement analytique qu’on utilise tout le temps, bon malheureusement j’ai eu du mal à cette première question bêtement ... - questions rapides sur le développement - Connaissez vous le développement en série entière de Tangente en 0 ? Non mais je connais les premiers termes et je sais que la formule générale fait intervenir les nombres de Bernoulli - vous pouvez majorer le rayon de convergence de la série entière en 0 de tangente ? Oui par pi/2 en voyant tan(z) = sin(z)/cos(z) et cos(z) s’annule pas dans le disque D(0,pi/2) - et on pourrait montrer que c’est égal à pi/2 ? Oui en fait la limite de tangente en pi/2 c’est l’infini donc en pi/2 c’est pas défini donc le rayon peut pas être strictement plus grand - vous avez dit que Gln(R) était non connexe, pouvez vous citer des espaces de matrices qui seraient connexes (hors Gln(C)) ? Oui SLn(C) est connexe par arcs ça se montre avec les transvections et je sais que SLn(R) est connexe mais je sais pas le montrer - Et On(R) ? C’est pas connexe parce qu’il a deux composantes connexes On+ et On- - Montrer alors que O2+ est connexe On va montrer connexe par arcs, déjà O2+ c’est des matrices de rotations et donc on va montrer qu’on peut relier chaque matrice à l’identité : il faut prendre theta*t au lieu de theta dans l’expression de la matrice et c’est ok le chemin convient - Ensuite ils m’ont fait retrouver un théorème pour avoir l’implication entre f’ = 0 et f est constante. D’abord ils m’ont fait poser f : [0,1] dans R une fonction quelconque dérivable sur I = [0,(1/2)[ U ](1/2),1] et telle que f’ = 0 sur I. J’ai dit une bourde en disant que je pensais que f était constante sur I mais en fait ils m’on invité à faire un dessin et j’ai vite corrigé mon erreur en prenant une fonction qui valait 1 sur [0,(1/2)[ et qui vaut -1 sur ](1/2),1] et qui vérifie les hypothèses alors qu’elle n’est pas constante. Ensuite ils m’ont donc demandé qu’est ce qu’il manque pour avoir f constante et j’ai dit il faut que I soit un intervalle ils ont eu l’air de dire oui et m’ont fait écrire l’énoncé du théorème. - Ils m’ont demandé de généraliser le résultat dans R^2 : j’ai donc dit que dérivable devenait différentiable, « f’ = 0 » devient « les dérivées partielles sont nulles » et « I intervalle » devient « I est connexe » et ça a l’air de les avoir convaincu - Ensuite j’avais mis le théorème des valeurs intermédiaires dans mon plan sans dire le nom et je l’avais cité pour un espace métrique quelconque, on m’a demandé ce que ça donnait dans R muni de la distance usuelle j’ai dit que c’était le TVI et ils ont dit oui (bizarre comme question surtout que c’était vers la fin) - Pour finir on m’a fait poser f : R dans R une fonction croissante et I un intervalle de R. J’ai du montrer que l’image réciproque de I par f était un intervalle. Ils m’ont suggéré de montrer que f^(-1)(I) était convexe, ce qui se fait bien car f est croissante. J’ai terminé là dessus

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Souriant, un des membres hochait souvent la tête, ce qui met en confiance. Il aidait quand il fallait.

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.
Aucune surprise.

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
Sur le développement : Je n'étais pas très à l'aise pendant le développement, le stress m'empêchait sans doute d'être réellement convaincant. J'avais remplacé une inégalité large par une inégalité stricte, une jury m'a demandé de corriger. Ensuite un jury m'a demandé de montrer que ce que j'utilisais dans mon développement était bien une norme ; ce que j'ai du faire en entier malgré la facilité de la vérification. Je pense que c'est à cause de l'image peu assurée que j'ai donné pendant mon développement. J'ai ensuite dû donner la définition d'une forme quadratique. Sur le plan : - démontrer l'équivalence entre un E = O1 union O2 où O1 et O2 sont des ouverts disjoints et E = F1 union F2 où F1 et F2 sont des fermés disjoints - démontrer la caractérisation de la connexité par les fonctions à valeurs dans {0,1} - je n'avais pas écrit la condition de continuité dans le théorème des valeurs intermédiaires, j'ai du compléter l'énoncé - démontrer le théorème de Darboux : j'avais la démonstration dans mes notes, je leur ai dit, mais la prof qui m'a posé la question m'a demandé ce que je pouvais dire sans regarder ; j'ai donné les grandes lignes sans trop me convaincre, ça a eu l'air de lui suffire et on est passé à autre chose Exercice : Un seul exercice pour la fin, j'avais une fonction f : R^n -> R^n C1 telle qu'il existe un k >0 tel que pour tout x,y, ||x-y|| < k*||f(x)-f(y)||, et je devais montrer que c'était un C1-difféomorphisme. J'ai rapidement pensé au théorème d'inversion globale, j'ai donc dit que je voulais l'utiliser ; j'ai ensuite remarqué que l'hypothèse implique que f est injective ; pour montrer la surjectivité j'ai montré que l'image de f était un ouvert-fermé (fermé par caractérisation séquentielle, ouvert grace au théorème d'inversion locale) ; comme il ne restait pratiquement plus de temps, une des membres du jury m'a demandé les hypothèses du théorème d'inversion globale, et de justifier pourquoi il fallait bien montrer que f était bijective.

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Souriant, assez peu aidant, je réfléchissais parfois un peu à voix haute, mais peu d'intervention de leur part ; que ça soit pour me dire que je disais des bêtises ou que je partais bien. Au final, je pense que ça m'a servi, étant donné que j'ai malgré cela pu répondre à toutes leurs questions.

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.
On a eu un peu moins de 3h de préparation ; quelques minutes de moins.