215 - Applications différentiables définies sur un ouvert de Rn. Exemples et applications.2026

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
Description du jury : Deux hommes (J1 et J2) et une femme (J3), très souriants et agréables. J1, l’homme qui m’a fait entrer me redonne les consignes après m’avoir demandé la leçon que j’ai choisie, et me dit que je peux me lancer quand je veux. Jury tout du long très agréable et avenant. Déroulement de l’oral : Défense de plan : Un peu mieux qu’en algèbre, j’introduis la notion de différentiabilité comme manière d’approcher localement la fonction par une fonction plus simple, comme un espace affine (droite dans le cas réel, plan dans le cas R²…) et puis je déroule, j’introduis les notions, les thm et je déroule. J’ai eu le temps, sans rentrer dans le détail, de couvrir tout le plan et j’ai annoncé mes développements. Développement : J’annonce les deux dvts et le jury choisi le deuxième, caractérisation des fonctions convexes différentiables. Celui que je trouve le moins intéressant des deux, dommages. Je réalise le développement du thm en 15 minutes 20. J’ai eu quelques bugs mais me suis reprise. Je n’ai pas eu le temps de fini, j’ai dû faire la dernière implication à l’oral. Questions : J2 : À la fin du dvpt vous dites vouloir utiliser la formule de Taylor avec reste intégral. Vous pouvez l’écrire ? Je savais qu’il fallait la relire avant de rentrer dans la salle et j’ai oublié, donc évidemment je me suis plantée. Ils m’ont guidée, j’ai fini par écrire un truc qui me semblait correct et ai demandé à vérifier dans mon plan, c’était bon. J3 : vous pouvez expliquer à nouveau comment vous avez obtenu les deux inégalités au début de votre développement ? J’avais fait une erreur, inversé x et y, ce que j’ai repéré de suite et j’ai pu corriger (ça restait inversé dans la suite mais ils ont vu que j’ai compris et vu seule, puis corrigé le pb). J3 : Vous avez utilisé l’IAF pour une fonction à variable et valeurs vectorielle. Est-ce que le TAF, avec égalité donc, est valable. J’hésite un peu, ils me demandent d’écrire le TAF pour une fonction de variable et à valeurs réelles. Je l’écris, l’illustre par un schéma, et dit que je pense qu’en vectoriel on risque d’avoir un pb mais je n’arrive pas à savoir comment démarrer la réflexion. La jury me propose de trouver un contre-exemple. Je bloque. Elle me dit que je dois trouver une fonction tq f(a)=f(b) mais telle que f’ ne s’annule jamais. Je bloque. Elle me suggère de regarder une fonction de R dans C. Je bloque encore. Elle me demande une fonction à valeurs complexes qui ne s’annulerait jamais, je réponds exponentielle. Elle me demande de creuser. Et là, illumination, l’exponentielle complexe, que j’illustre avec un cercle trigo. J1 : Ok on passe au plan. Que doit-on supposer de plus sur l’ouvert U dans le paragraphe sur les fonctions convexes ? Ah oui, que U est convexe évidemment. Sinon on a un problème. J1 : Ok et pourquoi ? Pcq quand on travaille avec les fonctions convexes on travail sur tout le segment entre x et y, comme on le fait d’ailleurs dans le dvpt que j’ai présenté, et on a besoin qu’il soit contenu dans U, donc que celui-ci soit convexe. J’ai oublié de l’écrire dans le plan c’est une erreur. J1 : Ok on va faire un exercice. On considère φ:M→M^(-1). Est-elle différentiable en In ? Je dis que pour le savoir on peut essayer de calculer φ(M+H) donc je l’écris et puis l’exo (classique) me revient en mémoire. Je tire sur le fil, j’explique un peu qu’on cherche une application linéaire, et après je dis qu’on peut montrer que si ‖H‖<1 alors l’inverse de M+H est ∑▒〖(-H)〗^k . Ils me croient sur parole. J1 : Ok et ensuite ? Ah oui, j’en oubliais le but ! Alors ensuite on sort les deux premiers termes de la somme. On retrouve φ(I_n) et un terme linéaire, -H, puis un o(H²), euh non pardon un o(H), car on peut sortir un terme H² et après on a un petit o(H) car on a un terme en H * H * constante. J3 : Et de quelle norme vous parlez ? On est en dimension finie donc n’importe laquelle convient tant que c’est une norme d’algèbre. J3 : Ok et comment vous fabriquez le petit o alors ? Par sous-multiplicativité de la norme, on peut faire rentrer les normes par inégalité triangulaire d’abord, puis sous-multiplicativité. J3 : Et ça marcherait pour n’importe quel H ? Non, il faut ‖H‖<1 pour que la série à droite de l’inégalité converge, ce que j’ai supposé ici (je l’avais écrit au tableau). J3 : Ok alors on va faire un autre exercice. On prend f:X→XM+MX. Expliquez pourquoi elle est C∞ et donnez sa différentielle. C’est une application C∞ car c’est un polynôme en les coefs de X donc elle est C∞ et sa différentielle on peut l’écrire c’est HM+MH. J3 : Ok et maintenant on suppose que M est diagonalisable et que toutes ses vp sont strictement positives. On veut montrer qu’il existe g, une fonction, U et V deux espaces qu’on ne connait pas, tq g:U→V et g◦f=idV et g◦f=idU. Ah bah là on a envie d’utiliser le thm d’inversion locale. Il faut donc qu’on montre que on a une différentielle inversible au point qui nous intéresse. Ici on va tenter avec n’importe lequel. Donc pour montrer que la différentielle est inversible, ça ne me semble pas raisonnable d’essayer d’écrire sa matrice, ni de calculer son déterminant. J3 : Vous ne connaissez pas d’autre moyens de faire ? Hmm, le polynôme caractéristique pour trouver toutes ses vp, mais même pb que regarder sa matrice ou son déterminant… J3 : Et si on regarde son noyau ? Ah oui effectivement il suffit de mq que son noyau est réduit à O. J3 : et ça suffit ? Pourquoi ? Oui par le thm du rang ça suffit, on connaît les dimensions des espaces de départ et d’arrivée. J3 : Ok allez-y. Ok donc je veux monter que si H est dans le noyau, H=0. Je l’écris, je déroule. J’arrive à MH=-HM. Je dis que j’ai envie d’écrire M sous sa forme diagonale. J’introduis donc P, matrice inversible, tq M=PDP-1. Je déroule, je multiplie à droite et à gauche par P et P-1 et j’ai DP-1HP = P-1HPD. Je dis que je vois apparaître une nouvelle matrice, P-1HP. La jury me suggère de lui donner un nom. Je l’appelle donc K et je dis que si je montre que K = 0 ça me permettra de conclure que H=0. Je propose de calculer les produits matriciels, assez facile puisque D est diagonale. Elle me dit que c’est la bonne chose à faire. Je les fais, et je tombe sur, coef par coef, λ_i k_(i,j)=〖-λ〗_j k_(i,j). Je fais tout passer à gauche et comme les vp sont >0 je conclue que ki,j = 0. J1 : Ok on va faire un autre exercice. On a f, une fonction de R dans R, C1 et telle que la norme sup de sa dérivée et strictement plus petite que 1, et g une fonction de R² dans R g:(x,y)→(x+f(y),y+f(x)). Peut-on trouver un endroit ou g serait un C1 difféomorphisme ? Peut-on le trouver local ? global ? Ah bah on a besoin à nouveau du TIL. On a bien g C1 car f l’est, et on veut vérifier que la différentielle, localement pour le TIL local au moins, est inversible. Donc je différencie. J’ai donc 〖dg〗_((x,y)):(h,k)→(h+f^' (h)y,k+f^' (k)x). (je me corrige avant que le jury ait le temps à quelques moments, notamment au début ou j’ai pas pris un couple (h,k) mais seulement h, et parce qu’au début j’avais écrit dfx(h) et dfy(k) mais fait la remarque que comme f était de variable réelle elle était dérivable et qu’on devait écrire f’ et pas df). J2 : Vous êtes sûre de votre différentielle ? Vous avez effacé vos df peut-être un peu vite ? Ah oui c’est pas f’(h)y et f’(k)x mais f’(y)h et f’(x)k. J’ai donc〖dg〗_((x,y)):(h,k)→(h+f^' (y)h,k+f^' (x)k). J1 : Ok et comment vous avez différencié? Chaque composante est linéaire donc je peux juste différencier chaque terme directement, le x devient h, le f(y) devient f’(y)k, etc. J1 : Ah oui ok mais y’a pas un autre moyen de l’obtenir ? Qui vous permettra ensuite de regarder si c’est inversible ? Ah si, on pourrait écrire sa matrice. Je la trouve : [■(1&f'(y)@f'(x)&1)] et je dis « ah mais oui en fait j’aurais du calculer la jacobienne directement. Bon en tout cas on a la matrice ». Donc je calcule son déterminant, 1-f’(y)f’(x) qui est donc non nul car le sup de f’ est <1. Donc on peut applique le TIL et on a le résultat. Pour le TIL global, comme vous le constaterez je ne l’ai pas mis dans mon plan je suis un peu moins à l’aise sur ses hypothèses, mais en tout cas la jacobienne est inversible en tout point de R², est-ce que ça nous permettrait de conclure ? J1 : On veut montrer que g est un C1 différomorphisme. C’est quoi un C1 difféomorphisme ? Une fonction C1 dont la réciproque est C1 aussi. J1 : C’est tout ? Hmm… Je peux regarder mon plan ? J1 : C’est quoi la partie difféomorphisme ? Hmmm (fin d’oral, bug). Elle est bijective ? J1 : Et ça veut dire quoi ? Qu’elle atteint tout et que chaque image est obtenue une unique fois. J1 : Bijective, donc en particulier injective et ... ? Surjective J1 : Oui donc il nous reste encore du boulot… Mais c’est la fin on va devoir s’arrêter là.

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Globalement très agréable, souriant et bienveillant.

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.
J'ai eu de la chance je suis tombée sur un thème que j'aimais bien et des notions que j'avais bien révisées. Déçue du choix de développement et de m’être plantée sur Taylor avec reste intégral, d’avoir buggé un peu sur le premier exo, mais globalement super satisfaite. J’ai fait un bon plan je pense, assez complet même si pendant la préparation j’ai remarqué que j’avais oublié des trucs dont je rajoutais, un peu trop tard dans le plan, quelques définitions, et j’en n’ai pas trop parlé pendant la défense (notamment les dérivées aux ordres supérieurs). J’ai fait un bon développement, j’ai répondu très bien aux questions de cours qui n’étaient pas si évidentes, malgré les quelques bugs. J’ai l’impression d’avoir eu des exos pas si faciles et d’avoir assez rapidement gagné leur confiance. J’ai été très rigoureuse sur les quantificateurs et les définitions des objets que j’introduisais/utilisais. J'ai senti tout de suite que ça s'était très bien passé.

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
Tirage : 215, 226 Le choix fut assez facile, le calcul différentiel étant ma bête noire… Je n’avais jamais préparé la leçon 226, je me suis donc inspirée des plans du Madère et Devreton. Mais je n’ai pas été très inspirée par ces plans. J’ai donc préféré construire un plan autour de ce que je maîtrisais et de mes développements. Mon plan n’était pas incroyable : I/ Suites récurrentes d’ordre 1 II/ Suites récurrentes d’ordre p III/ Applications à la résolution approchée d’équations Mes deux développements ét aient : méthode de Newton (Rouvière) et Connexité des valeurs d’adhérence d’une suite (Gourdon / FGN). Le jury m’interroge sur la méthode de Newton. Développement ok, je l’avais bien préparé. Je fais un petit schéma :). Dans le rapport du jury, il est évoqué la méthode de Newton et spécifié : “avec sa généralisation au moins dans R2”. Je ne connaissais pas cette généralisation, j’ai cherché 3 minutes dans les livres que j’avais si je la trouvais mais non. Tant pis, j’ai donc présenté en développement la méthode de Newton dans R. Questions : quelques précisions sur mon développement démonstration du théorème de point fixe de Picard questions autour des types de points fixe : j’ai adapté la démo faite au cas d’un point fixe uniquement attractif Le jury voulait peut-être vérifier que j’avais compris que la méthode de newton concernait un point fixe super attractif Je ne me souviens plus des autres questions posées (étude d’une suite définie par récurrence du type Xn+1 = Exp(Xn), quelque chose dans le genre !

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Pas très aidant, super discret, mais pas méchant

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
Sur le développement: Résumer à l'oral les différentes étapes de la preuve. Justifier que l'application qui à un point $M$ du plan euclidien associe sa distance $OM$ à l'origine n'est effectivement pas différentiable en l'origine. (Il n'y a pas de dérivées partielles en ce point) Justifier que le point $P$ qui réalise le minimum se trouve effectivement à l'intérieur du triangle, et est différent des sommets (choses que j'ai admises lors de la preuve). Sur le plan : Exemple de fonction qui a des dérivées directionnelles mais qui n'est pas différentiable. Exercices: Exercice du même type que celui dans Rouvière où il s'agit de prouver l'unicité d'un solution $(x,y)$ d'un système non linéaire mettant en jeu des fonctions trigonométriques. On traduit cela comme un problème de point fixe d'une fonction et on montre que sa différentielle est de norme $<1$ (pour une bonne norme). L'inégalité de la moyenne permet alors de conclure. Soit $f:\mathbb R^n \rightarrow \mathbb R$ une fonction différentiable et $\alpha > 1$. Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes: Pour tout $t>0$ et $x\in \mathbb R^n$, $f(tx)=t^{\alpha}f(x)$. Pour tout $x\in \mathbb R^n$, $\sum_{i=1}^n x_i\partial_if(x) = \alpha f(x)$. Dans votre développement, vous avez utilisé le fait que la norme euclidienne est différentiable (sauf en l'origine). Est-ce vrai pour toutes les normes ?

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Très souriant et très aimable.

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
La défense du plan et la présentation du développement se sont passés sans problème. Ils m'ont posé quelques questions sur le développement et sur les sous-variétés de $\mathbb{R}^n $ (Je présentais les Extrema liés sans mentionné les sous-variétés).Ils m'ont posé quelques questions sur mon plan et se sont plus particulièrement concentrés sur la partie Optimisation. je me souviens de deux questions : \"Pourquoi une fonction convexe qui admet un minimum local admet un minimum global\", \"pourquoi $ x \longmapsto Ax \cdot x $ est convexe lorsque A est une matrice symétrique positive\". Ces petites questions venaient principalement d'un des trois membres du jury. Il m'a également demandé un contre-exemple au théorème des extrema liés dans la cas où les gradients ne forment pas une famille libre. Je lui ai fait remarqué que j'en avais mis un dans le plan et il m'a demandé de le traiter. Un des deux autres membres du jury me posait des exercices tels que : - A quelle condition sur une matrice M, on peut inverser localement l'application $A \longmapsto A^2$ dans Mn(R) ? -Appliquer le théorème des extrema liés sur une fonction qui admet un extremum local sur la sphère euclidienne. -Soient f et g deux applications de classe $\mathcal{C}^{\infty}$ sur $\mathbb{R}^n$ à valeurs réelles. Il y avait des conditions sur f et g et il fallait montrer que f/g se prolonge en une fonction $\mathcal{C}^{\infty}$ sur $\mathbb{R}^n$.

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Le jury était très sympathique et a cherché à me mettre en confiance dès que je suis entré dans la salle.

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.
Aucune surprise.

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
-Questions sur le développement : imprécision dans les notations du lemme présent dans le développement (application du théorème d'inversion locale), précision sur la somme directe (matrices symétriques/antisymétriques) -Concernant le théorème sur les extrema locaux (notations de Monge) : connaissez vous un autre théorème qui concerne les extrema. J'ai nommé le théorème des extrema liés (sans pouvoir le citer) -Application du théorème des fonctions implicites pour montrer que $AB-I_n$ (avec A matrice inversible) avait comme solution $B=A^{-1}$ -Si t appartient à l'intervalle $\left]\frac{-1}{\sqrt{2}};\frac{1}{\sqrt{2}}\right[$ : montrer qu'il existe une unique solution à l'équation cos(tx)+sin(tx)=x. Le jury m'a fait remarqué que l'on peut l'écrire f(x)=x. J'ai pensé au théorème du point fixe, donné les hypothèses. Il fallait faire une majoration sur le signe de la dérivée pour voir que f était strictement contractante. Ensuite, montrer que l'on peut écrire t en fonction de x (application du théorème des fonctions implicites)

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Jury peu aidant pour les questions

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.