Théorème des extrema liés (sans utiliser de sous-variétés)

Soient $U$ un ouvert de $\mathbb{R}^n$, $f$, $g_1,\dots,g_p$ des fonctions réelles de classe $C^1$ de $U$ dans $\mathbb{R}$ et, \begin{equation*} X = \{ x \in U, \ g_1(x) = \dots = g_p(x) = 0\}. \end{equation*} Si la restriction de $f$ à $X$ admet un extremum local en $x_0 \in X$ et si les différentielles $Dg_1(x_0),\dots,Dg_p(x_0)$ sont des formes linéaires indépendantes sur $\mathbb{R}^n$, alors il existe des réels $\lambda_1,\dots,\lambda_p$, appelés multiplicateurs de Lagrange, tels que : \begin{equation*} Df(x_0) = \lambda_1 Dg_1(x_0) + \dots + \lambda_p Dg_p(x_0). \end{equation*} Référence : à ma connaissance, cette preuve n'est pas référencée dans un livre. Elle provient du cours de Stéphane Rigat, dispensé en master de préparation à l’agrégation de mathématiques, à l’université d’Aix-Marseille.