Théorème de Liapounov
Soit le système différentiel
$$y^\prime = f(y), y(0)=x$$
avec $f\colon \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n$ de classe $C^1$ et $f(0)=0$. Si la matrice $Df(0)$ a toutes ses valeurs propres strictement négative, l'origine est un point d'équilibre attractif du système différentiel : pour tout $x$ assez voisin de $0$, $y(t)$ tend vers $0$ exponentiellement quand $t \rightarrow \infty$.
Référence : Rouvière, p. 143 (énoncé), p. 138-143 (démonstration)
| Qualité | Numéro | Titre |
|---|---|---|
| 5 | 220 | Illustrer par des exemples la théorie des équations différentielles ordinaires.2026 |
| 4 | 215 | Applications différentiables définies sur un ouvert de Rn. Exemples et applications.2026 |
| 4 | 221 | Équations différentielles linéaires. Systèmes d’équations différentielles linéaires. Exemples et applications.2026 |
| 3 | 155 | Exponentielle de matrices. Applications.2026 |
Utilisateur : Confiture
Vous pourrez trouver tous mes développements, des plans et plus sur mon site : https://perso.eleves.ens-rennes.fr/people/anael.marit/agregation.html !
ATTENTION RECASAGES DIFFÉRENTS (voir sur le poly)
J'ai suivi la preuve de Zuily-Queffélec sur les conseils d'un ami. Elle est assez différente de celle qui est présentée chez Berthellin ou Benzoni, et se recase notamment dans la leçon de connexité. Hélas, la référence est confuse et fort désagréable à lire (et l'argument de connexité n'y est pas clairement mis en valeur). J'ai essayé de faire mon possible pour être la plus claire possible, mais ça reste un déluge de paramètres qui dépendent les uns des autres et qu'il faut ajuster correctement. Attention à ne pas s'y perdre, ça demande un peu de préparation, mais la démonstration n'est pas si désagréable que ça à faire une fois qu'on s'y retrouve (même pour moi qui déteste les équa diffs !) '
Références :
Analyse pour l'agrégation - Queffelec, Zuily
Utilisateur : Courant Thomas
Très jolie preuve, attention à ne pas se perdre dans les epsilons en la présentant. On donne aussi une preuve du lemme en utilisant le calcul fonctionnelle.
Le lien pour le document:
https://perso.eleves.ens-rennes.fr/people/thomas.courant/Agr%C3%A9gation.html'
Références :
Équations différentielles - Florent Berthelin
Utilisateur : tchen
Tout comme Rouvière sauf le début où une réduction de Dunford termine le lemme.
Leçon 155, 220, 221'
Références :
Petit guide de calcul différentiel\r - Rouvière
Utilisateur : RMaurice
Si ma version peut aider des gens, avec plaisir !
Référence sur le document.
Attention aux éventuels coquilles.'
Références :
Utilisateur : abarrier
'
Références :
Équations différentielles - Florent Berthelin
Petit guide de calcul différentiel\r - Rouvière