Asymptotique d'une équation du troisième degré
Soit $f(x,\varepsilon) = (x-a)(b-x) + \varepsilon x^3$.\rOn donne un développement asymptotique des trois racines de f grâce au théorème des fonctions implicites et aux relations racines/coefficients.\rOn en déduit que :\r$I(\varepsilon)=\displaystyle \int_{x_1(\varepsilon)}^{x_2(\varepsilon)} \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{f(x,\varepsilon)}}=\pi+\frac{3\pi}{4}(a+b)\varepsilon+\mathcal{O}(\varepsilon^2)$
| Qualité | Numéro | Titre |
|---|---|---|
| 5 | 214 | Théorème d’inversion locale, théorème des fonctions implicites. Illustrations en analyse et en géométrie.2025 |
| 5 | 224 | Exemples de développements asymptotiques de suites et de fonctions.2025 |
| 3 | 215 | Applications différentiables définies sur un ouvert de Rn. Exemples et applications.2025 |
| 3 | 239 | Fonctions définies par une intégrale dépendant d’un paramètre. Exemples et applications.2025 |
Utilisateur : Kisame Hoshigaki
Exercice 79 du Rouvière
Utilise le théorème des fonctions implicites (214, 215 si besoin).
On fait le développement asymptotique des racines d'un polynôme puis d'une intégrale à paramètre (144, 224, 239).
Références :
Petit guide de calcul différentiel [Doublon] - François Rouvière