Théorème du relèvement

Soient $\mathbb{U} = \{ z \in \mathbb{C} : |z| = 1 \}$, $n \ge 1$ et $u : \mathbb{R}^n \to \mathbb{U}$ de classe $C^k$ avec $k \ge 2$. Alors il existe une fonction $t : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ de classe $C^k$ telle que pour tout $x \in \mathbb{R}$ on ait $$ u(x) = e^{it(x)} $$