Equation d'Euler-Lagrange

Soit $I=[a,b]$, $E$ un espace de Banach, $\mathcal{L} : I \times E \times E$ un Lagrangien de classe $\mathcal{C}^1$. Le but est de différentier la fonctionnelle \[ \Phi : \mathcal{C}^1(I,E) \to \mathbb{R},x \mapsto \int_a^b \mathcal{L}(t,x(t),x'(t)) \text{d}t \] et d'obtenir l'équation d'Euler-Lagrange vérifié par une fonction minimisant $\Phi$ sur l'ensemble des fonctions de $\mathcal{C}^1(I,E)$ vérifiant $x(a)=\alpha$ et $x(b)=\beta$.