Utilisateur : MULLER

Référence : Bruce M. Landman, Aaron Robertson, Ramsey Theory on the Integers. Le lemme 1 est une version réduite du théorème de Ramsey. Le lemme 2 est appelé Théorème de Schur.

On démontre les trois théorèmes classiques en application.

Ce développement est un exercice dans le livre de Hirsch - Lacombe (exercices du chapitre sur le théorème de Riesz). Attention, il n'est pas corrigé !

Le lemme doit figurer dans le plan. On doit savoir le démontrer, mais il ne faut pas le faire au tableau (trop long). La vraie preuve commence en bas de la première page.

La première phrase dans la preuve du lemme est un peu floue. Je veux dire qu'on voit $F$ et $P$ comme éléments de $K[X][Y] \subset K(X)[Y]$.

La preuve se trouve dans le Rudin, il s'agit du deuxième texte dans la section \"Notes historiques et textes choisis\" du chapitre sur les espaces $L^p$. Les applications du théorème sont dans le livre d'exercices du Rombaldi.

Le tout est sans doute trop long pour l'oral. On peut raccourcir en ne choisissant que quelques points. Les points 1-2-3 sont démontrés dans le livre de Seguin Pazzis. La preuve du théorème spectral est juste suggérée en exercice, mais pas détaillée.

Nous montrons l'égalité entre ces trois angles au moyen du calcul différentiel. Nous prouvons que le minimum est strict en justifiant que $f$ est strictement convexe sur tout ouvert convexe ne contenant pas $A,B$ ni $C$ (sur de tels domaines, $f$ est $C^{\infty}$ donc il est possible de différentier deux fois). Attention, Rouvière n'utilise pas cet argument dans sa correction. Il utilise un argument géométrique pour prouver l'unicité (mais alors ça se recase moins...)

C'est l'exercice E.21 page 333 du livre de Caldero, tome 2 (nouvelle édition). En complément, la preuve de la classification des groupes d'ordre 8 est faite dans le livre de Francinou et Gianella (Attention, ce n'est pas un FGN !)