Théorème de Sard
Soit U un ouvert de R^m et f une application de U dans R^n de classe C1. Alors l’image de l’ensemble des points critiques est de mesure de Lebesgue nulle.
On présente ici le cas où m=n.
Ce résultat est la version la plus présentable à l’agrégation.
Le cas où m < n est évident, et le cas m > n plus difficile, nécessite que f soit au moins de classe Ck avec k=max(1,m-n+1).
| Qualité | Numéro | Titre |
|---|---|---|
| 5 | 214 | Théorème d’inversion locale, théorème des fonctions implicites. Illustrations en analyse et en géométrie.2026 |
| 5 | 215 | Applications différentiables définies sur un ouvert de Rn. Exemples et applications.2026 |
| 5 | 203 | Utilisation de la notion de compacité.2026 |
Utilisateur : laiteau
Recasages : 214, 215
C'est un développement qui est assez difficile à présenter car les sources sont elliptiques sur la preuve. C'est pourquoi j'ai essayé de détailler au maximum les arguments (on peut faire un très beau dessin aussi).
Comme je précise dans les compléments ce théorème est un pilier de la topologie différentielle, il a donc tout à fait sa place dans les plans de leçon sur le calcul différentiel (vérifié par un professeur). Cependant, je ne sais pas si je garderai ce développement pour le jour J car il est fortement hors-programme.
Si vous avez des questions sur le développement vous pouvez m'envoyer un email, je répondrai avec plaisir.'
Références :
Introduction aux variétés différentielles\r - Lafontaine
Calcul différentiel - Gonnord, Tosel