Lemme de Morse

À mon avis c'est un des meilleurs développements parce qu'il se recase bien, est ni trop long ni trop dur et est assez intéressant. En applications, on peut évoquer la théorie de Morse mais je pense pas que le jury ira trop loin là dessus.'

Vous pourrez trouver tous mes développements, des plans et plus sur mon site : https://perso.eleves.ens-rennes.fr/people/anael.marit/agregation.html ! Un développement qui, s'y on se fie uniquement à l'énoncé, peut laisser penser qu'il va être affreusement calculatoire, mais qui pourtant est très agréable à mener et repose sur des arguments mêlés d'algèbre et d'analyse. Cela dit, il faut se méfier, car dans la référence plusieurs points assez subtiles sont éclipsés, points qu'il est, je pense, important d'avoir repérés pour ne pas se laisser surprendre par le jury. J'ai essayé dans mon poly d'être la plus complète possible et de glisser quelques remarques pour appuyer le côté \"formes quadratiques\" du développement. N'hésitez pas à me contacter en cas de coquille dans le poly ! '

Un développement compliqué, mais vraiment très rentable à mes yeux. Ceci dit, ma version n'est pas ultra complète : le jury pourra poser des questions de géométrie différentielle que j'ai du mal à prévoir. N'hésitez pas à regarder les autres versions, elles seront sans doute très utiles en complément. (Les recasages en 148 et 206 sont discutables...) Attention aux coquilles.'

Mes documents sont longs, déjà parce que je parle vite (donc il faut beaucoup de contenus), que j'écris gros, et que j'aime bien comprendre dans les détails, mais aussi et surtout parce qu'il y a beaucoup de remarques/infos à la fin, pour essayer d'être capable de répondre au max de questions liées au dev ! Evidemment, il est fort possible qu'il y ait des coquilles de ci de là, n'hésitez pas à me les signaler ! (Bon courage !)'

Retrouvez toutes les leçons et tous les développements, ainsi que des cours (avec les fichiers sources) sur mon site www.coquillagesetpoincare.fr'

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J'aime pas trop ce développement ni la manière dont il est rédigé dans le Rouvière. Mais bon, il présente l'avantage de bien se recaser. Les références sont indiquées à la fin du plan. N'hésitez pas à me contacter pour me signaler toute erreur ou imprécision.'

Pas grands choses à dire si ce n'est que ma version est plus détaillée que celle faite dans Rouvière mais j'ai évidemment tout calqué sur lui. Attention aux coquilles'

J'aime ce développement, la version générale du PGCD, combinée à l'application présentée dans le Bernis-Bernis et vous voilà avec un développement très solide.'

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Développement classique mais qui se recase bien une fois bien maîtrisé. De mon point de vue, il peut être utilisé pour les leçons 158, 171, 214 et 215 mais il peut aller ailleurs si on le motive correctement. '

Recasages choisis : 171, 206, 214, 215. La référence principale est le Rouvière mais je trouve que c'est pas hyper bien détaillé (surtout pour le théorème). Pour les applications, voir le Bernis'

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Je déteste ce dev j'ai l'impression de ne pas comprendre ce qu'il raconte mais il faut bien combler les trous...'

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On prend la preuve du Rouvière à l'envers, on éclaircis plusieurs points qui rendent la preuve opaque et l'on déroule ! J'ai volé cette version à une personne qui était avant moi en prépa agreg et j'ai jamais aussi bien compris le développement qu'en lisant sa version. Attention aux coquilles !'

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https://sites.google.com/view/evariste-d-aubergine'

D'après moi pour les leçons : 151, 158, 170, 171, 214 et 215. Ma version du lemme préliminaire est assez fortement modifiée par rapport à celle de l'excellent livre de F. Rouvière. Une application relativement simple du lemme de Morse est la distance au plan tangent (exercice 111 p341 de la 4e édition du même ouvrage). NB : tous mes développements sont généralement très détaillés car j'ai besoin de bien comprendre toutes les étapes. En l'état ils sont donc généralement trop longs pour tenir en 15 mins, et les parties \"faciles\" ne sont donc pas à mentionner ou juste à l'oral. J'écris assez mal également, toutes mes excuses.'

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Il y a une application au Folium de Descartes à la fin.'

Une application qui peut être proposée concerne la stabilité des systèmes newtoniens. Énoncé : Soient un entier $n\ge 1$, $\mathcal{U}$ un ouvert de $\mathbb{R}^n$ contenant l'origine $\mathbf{0}$, et $f$ un élément de $\mathcal{C}^3(\mathcal{U}, \mathbb{R})$. On suppose que la différentielle de $f$ est nulle en l'origine et que sa différentielle d'ordre $2$ est non dégénérée en l'origine. Alors il existe un $\mathcal{C}^1$-difféomorphisme $\Phi$ d'un voisinage $\mathcal{V}$ de $ \mathbf{0} $ sur un voisnage $\mathcal W$ de $ \mathbf{0} $ inclus dans $\mathcal U$, qui conserve l'origine et tel que pour tout $ Z \in \mathcal{V}$, on ait : \begin{equation} f(\Phi( Z) ) - f( \mathbf{0} ) = \frac{1}{2} \mathrm{D}^2_{ \mathbf{0} }f\cdot \left( Z,Z\right). \end{equation} Référence : Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, J. et L. Bernis, Ellipses'

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