152 - Endomorphismes diagonalisables en dimension finie2026

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
I) Diagonalisation et applications 1) Conditions de diagonalisations 2) Co-diagonalisation 3) Décomposition de Dunford II) Cas particuliers 1) Endomorphismes auto-adjoints 2) Matrices à coefficients dans un corps fini III) Topologie Quelques questions sur le développement dans un premier temps. Puis des questions sur des exemples que j'ai mis dans le plan : - En guise d'illustration de la codiagonalisibilité, j'avais mis : Soient A,B diagonalisables, $\theta_{A,B} : M \mapsto AMB$ est diagonalisable. On me l'a fait remontrer. J'ai dit que ça s'écrivait comme composition de endomorphismes diagonalisables qui commutent : $M \mapsto AM$ et $M \mapsto MB$. On m'a fait montrer qu'ils sont bien diagonalisables. Il faut considérer un polynôme annulateur scindé à racines simples de A pour le premier. De B pour le deuxième. Et montrer qu'il annule nos endomorphismes aussi. Puis j'ai eu comme question d'énoncer les endomorphismes diagonalisables de O_n(R). Je ne m'y attendais pas... j'ai eu du mal. Exo : Soit $A \in M_n(R)$ tel que $\chi_A \wedge \chi_A' = 1$. Montrer que $R^n = \bigoplus\limits_{i} D_i \bigoplus\limits_{j} P_j$, où les $D_i$ sont des droites stables et les $P_j$ des plans stables. J'ai eu besoin de beaucoup d'aide.

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Très désagréable. Un jury ne parlait pas du tout, une très peu et celui qui avait le lead était très cassant, faisait des remarques à la moindre erreur. Il semblait pas content d'être là et le faisait comprendre.

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.
Je me suis rendu compte d'une erreur dans mon développement lors de la présentation, alors que je l'avais énormément travaillé. Un peu dégouté de ça. Je m'attendais à un jury plus sympathique, comme ce que j'ai eu en modé et en analyse.

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
Plan proposé : I - Valeurs propres et polynômes annulateurs A) valeurs propres B) Polynome caractéristique C) Polynomes d'endomorphismes, polynome minimal II - Diagonalisation A) Définition et critères B) Familles codiagonalisables (Dunford en corollaire) III - Cas particuliers de diagonalisation A) Endomorphismes symétriques B) Exponentielle de matrices (exp A dgzable) (exp homéo) En défense j'ai évoqué la difficulté de calculer les produits matriciels, mais la simplicité lorsque celles ci sont diagonales. J'ai essayé d'illustrer l'idée selon laquelle, si on a un vecteur propre, en le choisissant comme vecteur d'une base, alors les coordonnées de u(x) dans cette base sont simples. De là j'ai introduit le polynome caractéristique, outil pour connaitre les valeurs propres, et j'ai fait un schéma avec au milieu \"u diagonalisable\" et des flèches / doubles flèches pour citer les critères (genre simple flèche qui part de \"$\chi_u $ SARS, double flèche pour $\pi_u $ SARS). J'ai évoqué Dunford comme une écriture facile à manipuler, et en dernier lieu les applications, j'ai aussi parlé des EDO je crois. Dév : ok, ils ont un peu ri (il me semble) quand j'ai proposé Dunford dans la défense, sûrement parce qu'ils le voient beaucoup passer. Questions : j'avais posé K = R ou C sur tout le plan. Peut on changer de corps ? sur dunford je voyais pas d'inconvénient, sur l'exponentielle j'ai dit que je me restreignais vraiment à R ou C, car ailleurs jsp. Que se passe-t-il si le pol carac n'est plus scindé simple ? je me suis souvenu de mon cours et ai parlé d'endomorphismes semi-simples. J'ai donné la def puis il a voulu m'emmener par là. On a discuté du fait qu'une matrice dans R (donc polynome caractéristique pas forcément scindé) peut se plonger dans C, et donc on a un Dunford complexe. Là j'ai conjugué, donc A reste égale à $\bar{A}$ puis par unicité de la décomposition, $D=\bar{D}$ et $N=\bar{N}$ donc les matrices sont dans R, mais sont-elles diagonalisables dans R pour autant ?? Là il m'a donné un exercice, je devais montrer un équivalent entre être semi-simple et diagonalisable je crois mais je ne me souviens plus trop (y'a un énoncé comme ça dans le Rombaldi sur un corps algébriquement clos mais je sais plus si c'était exactement ça). j'ai un peu galéré, on est passés sur autre chose. Justifier la décomposition de Dunford de $\exp(A)$, je l'avais mis dans mon plan mais pas détaillé en dév. Pourquoi a-t-on $\exp(D+N)=\exp(D)\exp(N)$ ? Produit de Cauchy. Pourquoi $u_F$ reste t il diagonalisable si u dgzble et stable par F ? prendre un polynôme annulateur SARS. Pourquoi les projecteurs sont-ils des polynomes en $u$ ? J'ai entamé la preuve du lemme des noyaux, ils m'ont coupé quand ils ont vu que je savais. J'avais fait une erreur dans le théorème de décomposition polaire, j'avais mis $S_n(\mathbb{R})$ sans le ++ donc ils m'ont fait corriger. Ils m'ont demandé si une telle décomposition existait toujours dans Mn(R) et non plus GLn : j'ai dit oui mais la matrice est dans Sn+ et non Sn++, et on perd l'unicité. C'est dans le Rombaldi aussi. Exercice : jusitifer que u est diagonalisable ssi il existe un isomorphisme de K algèbres entre $K[u$] et $K^l$, où $l$ est un entier. Mdr pas très inspirant, je commence par dire que K[u] est de dim le degré de pi_u. Il me dit pourquoi, je dis par division euclidienne. Il me fait alors écrire le morphisme de K[X] dans L(E) dont le noyau est $\pi_u$. on écrit pi_u en produit de facteurs de degré un puis théorème chinoix, et chaque $K[X]/(X-\lambda_i)$ est isomorphe à K, donc le sens direct est ok. sens réciproque : on a pas terminé. J'écris le pol minimal en produit d'irrédcutibles, et après on a parlé d'éléments nilpotents dans $K^n$, et c'était la fin. Snif snif.

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Ils étaient 3, très sympas. Avant même de commencer l'oral (je passais premier à 11 heures) je les entendais rire. Assez neutres pendant la défense puis le dév, aidants sur les questions. J'osais pas dire de bêtise donc ils me poussaient doucement à proposer des idées.

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.
C'est bien organisé. En gros : rdv 7h30, tirage 7h40, à 10h40 on termine de préparer, on à jusqu'à 11 heures pour aller aux toilettes boire tout ça, et on commence.

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
<ol> <li>Comment détermine-t-on une relation de Bézout (pour la famille de polynômes du dév) ?</li> <li>Peut-on avoir une majoration du degré des coefficients de Bézout de cette relation ?</li> <li><ol><li>On se donne la décomposition de Dunford d'une matrice A, sa partie diagonalisable est un polynôme en A. Comment trouver un tel polynôme ?</li> <li>Bon, essayons en dimension 2</li> <li>Bon essayons avec une matrice de la forme a*I_2</li></ol></li> <li>Montrez que l'ensemble des matrices diagonalisables est dense dans Mn(C)</li> <li>Soit p un projecteur. Quand est-il symétrique ?</li> <li><ol><li>Soient p et q deux projecteurs orthogonaux. Est-ce que pq est diagonalisable ?</li> <li>Regardons en dimension 2.</li></ol></li> <li>Soient F et G deux espaces stables par u. Si les endomorphismes induits par u sur F et G sont diagonalisables, est-ce que l'endomorphisme induit par u sur F+G est diagonalisable ? (Il y en avait une autre avec, je ne me souviens plus trop, c'était du genre si u est diagonalisable alors les induits le sont, la réciproque est-elle vraie ?)</li> <li>Un endomorphisme de rang 1 est-il diagonalisable ? Il y a des conditions ?</li></ol>

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Un peu aidant, mais pas tant que ça.

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.
La rédaction du plan m'a pris plus de temps qu'à mon habitude, c'est un temps que j'aurais vraiment apprécier prendre pour réviser les preuves du plan. Lorsqu'on m'a posé des questions, j'aurais du gribouiller sur le tableau pour montrer que j'étais en train de chercher, peut-être le jury m'aurait-il plus de temps pour réfléchir aux questions.

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
- J'ai commencé mon plan en disant que les matrices diagonales sont faciles à inverser et pratiques pour les calculs. Le jury m'a fait remarquer qu'il est plutôt rare de diagonaliser une matrice pour l'inverser. - Le développement c'est bien déroulé, le jury n'avait pas de question dessus. - Le jury m'a demandé comment s'appelle une matrice de la forme (a -b) (b a) Et à quoi cela correspond géométriquement. - Ensuite j'ai du montrer que si M est diagonalisable alors tout espace stable par M admet un supplémentaire stable. Je suis bien parti mais j'ai mis quelques minutes avant de pouvoir conclure. - Le jury a demandé de montrer que tr(AtA)=0 implique A=0 (que j'utilisais dans mon développement). J'ai dit que ça provenait d'un produit scalaire, et j'ai du le démontrer. On m'a demandé comment s'appelait ce produit scalaire (Dit de Frobenuis). - On m'a demandé la décomposition de Dunford de exp(M) connaissant celle de M puis de montrer que M diagonalisable SSI exp(M) l'est, et enfin la CNS pour que exp(M)=I (tout ceci était dans mon plan). - Le jury m'a demandé de montrer que l'adhérence de Dn(R) ne valait pas Mn(R). J'ai d'abord trouvé une matrice non trigonalisable sur R (car j'avais dans mon plan l'adhérence de Dn(R) qui vaut Tn(R) ). Le jury a alors demandé de montrer directement le résultat sans utiliser mon plan. (Penser au discriminant). - Comme j'avais fait une partie topologique, le jury a demandé de donner une caractéristique topologique sur la classe de conjugaison de M lorsque M est diagonalisable. J'avais déjà vu ce résultat mais j'ai eu un peu de mal à retrouver la preuve. Le Jury m'a aidé, et j'ai finalement réussi. - Pour finir, le Jury m'a demandé comment je ferais concrètement pour diagonaliser M symétrique. J'ai dit qu'il fallait calculer le polynôme caractéristique, mais le jury a reformuler la question en suggérant que la matrice M est de taille 100. J'ai dit qu'il fallait trouver les valeurs propres de M. Qu'on pouvait les approximer par méthode itérative. J'ai énoncé le nom de la méthode de la puissance pour calculer la plus grande valeur propre de M après un peu d'aide. Le jury a dit oui et m'a demandé comment conclure. J'ai dit qu'il fallait résoudre un système linéaire AX=cX et le jury a demandé comment on conclut ensuite, par récurrence en calculant l'orthogonal de X. L'oral c'est terminé ici.

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.
Le jury a posé des questions relativement proches du plan.

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
- Le jury a posé d'abord des questions sur ma présentation (6min) et est revenu sur ce que j'avais noté au tableau. Je m'attendais à ces questions et j'ai su y répondre rapidement. - Ensuite, le jury est revenu sur mon développement et ils ne le connaissaient pas à priori. Ils m'ont demandé de réexpliquer la fin sur la limite. - Sur le plan : j'avais oublié un mot dans un théorème (endomorphismes qui commutent et diagonalisables sont diagonalisables dans une même base), ils m'ont demandé de le démontrer. Puis ils m'ont demandé si on pouvait avoir des hypothèses plus faibles. Ils m'ont posé un exercice mais je ne m'en souviens plus. - Question sur endomorphisme diagonalisable sur un corps fini : j'ai cité le théorème et je l'ai redémontré - Exercice sur une matrice A telle que A^2+A+In=0 (pas eu le temps de finir)

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Jury agréable

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.
Oui bien passé. La préparation s'est bien déroulée, j'ai eu le temps de faire le plan que je voulais, revoir les développements et les démonstrations des théorèmes. J'ai pu aussi préparer l'introduction en insistant sur l'intérêt de la diagonalisation, et les outils pour y parvenir (cf Grifone + X-ens).

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
6 minutes: Je n'avais pas eu le temps de les préparer donc elles n'étaient pas terribles, je pense avoir dit des choses intéressantes mais pas au bon moment. Développement: Je le connaissais bien je l'ai fait dans les temps et je pense l'avoir fait proprement. Je me suis juste trompée dans l'injectivité j'ai pas pris le bon polynôme interpolateur mais ils ne m'en ont pas voulu. Questions développement: Jury: Quelle norme vous utilisez? Moi: La norme 2 c'est à dire la norme subordonnée à la norme euclidienne qui est égale à la racine du rayon rayon spectral de ... J: Vous avez une idée de comment ça se démontre? M: Décomposition polaire J: Pour la surjectivité où est ce que l'on se sert de l’hypothèse de défini positivité? M: Pour définir le logarithme des valeurs propres. Questions Plan: J: Est ce que que vous avez un critère de diagonalisation sur F_p? La réponse était une matrice A à coeff dans F_p est dzable ssi A^p=A. Je ne l'ai pas trouvé mais j'ai su le démontrer. J: Dans mon plan vous avez défini la semi-simplicité par la diagonalisation dans une extension dans K (c'est juste mais c'est pas la définition usuelle), est ce que vous avez une autre caractérisation de la semi simplicité avec les polynômes? M (avec de l'aide): A est semi simple ssi son polynôme minimal est sans facteur carrés. J: Montrez le. Là j'ai pas mal galérer, il fallait passer par une caractérisation avec des sous espaces stables, mais avec beaucoup d'aide j'ai fini par m'en sortir. J: Vous avez mis dans votre plan que Dn(C) est dense dans Mn(C), est ce que Dn(R) est dense dans Mn(R)? M: Je sais qu'on utilise le fait que C soit algébriquement clos dans la preuve... J: Oui donc la preuve sur C ne marche pas sur R. Trouvons un ct-ex en dimension 2. J'ai ressorti une matrice que j'avais mise dans mon plan qui avais pour valeurs propres +/-i, j'ai calculé le polynôme caractéristique car ils n'avaient pas l'air convaincus. J: Ok et pourquoi on ne peut pas approcher cette matrice par une suite de D_n(R)? M (avec de l'aide): Si A_k est une suite de matrices de D_n(R) alors pour tout k le polynôme caractéristique de A_k est à racines réelles or l'application qui a une matrice associe son polynôme caractéristique est continue J: Et qu'est ce que vous utilisez pour savoir si un polynôme de degré 2 a des racines réelles ? M: Ah oui! Le discriminant qui lui aussi est continue donc la limite d'une suite de matrice de D_n(R) ne peut pas être ...

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Plutôt sympathique, ils savaient quand aider et quand laisser réfléchir.

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.
J'ai eu un très bon tirage, cette leçon était l'une des leçons que je connaissais le mieux! Et je maitrisais les 2 développements. Malgré ça écrire le plan et réviser les 2 développements m'ont pris les 3h de la préparation, je n'ai donc ni eu le temps de réviser les preuves ni de préparer les 6 minutes. L'en-tête de la première page du plan prends de la place on ne peut donc pas écrire autant que ce que je pensais. Sinon pas de surprises.