Inégalités de Weyl

Soit $M\in H_n(\mathbb{C})$, $\lambda_1(M)\leq..\leq\lambda_n(M)$ ses valeurs propres, $E_k$ l'ensemble des sous-espaces vectoriels de dimension $k$ et $S$ la sphère unité, on a les formules de min-max suivantes: \begin{align*} \lambda_k(M)&=\underset{F\in E_k}{\min}\ \underset{x\in F\cap S}{\max}x^* Mx\\ &=\underset{F\in E_{n-k+1}}{\max}\ \underset{x\in F\cap S}{\min}x^* Mx \end{align*} Si $M$ et $N$ sont hermitiennes, on en déduit les inégalités de Weyl: \begin{align*} \lambda_i(M)+\lambda_j(N)&\geq \lambda_{k}(M+N) &\text{ où }i+j=n+k\\ \lambda_i(M)+\lambda_j(N)&\leq \lambda_{k}(M+N) &\text{ où }i+j=1+k\\ \end{align*} Exemple de corollaire: $M\mapsto \lambda_k(M)$ est 1-Lipschitzienne.