Enveloppe convexe de On(R)

Développement un peu court et pas non plus ultra palpitant mais qui a le mérite de se recaser dans la 159.'

Version avec HB restreint'

- Caractérisation de l'appartenance à l'enveloppe convexe fermée d'une partie par les formes linéaires ; - Calcul de l'enveloppe convexe de $\mathcal{O}_n(\mathbb{R})$ ; - Compléments : preuve de la projection sur un convexe fermé dans le cadre euclidien / preuve du théorème de Carathéodory et de son corollaire utilisé dans le développement / preuve du fait que les éléments de $\mathcal{O}_n(\mathbb{R})$ sont exactement les points extrémaux de la boule unité de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$. Leçons concernées : 159, 161, 181'

Pour être tout à fait honnête, je n’avais pas eu le temps de bien préparer ce développement, car je l’ai choisi assez tardivement. Je pense que c’est un développement très (trop ?) long, qui utilise beaucoup de résultats, dont un qui est hors-programme me semble-t-il (le théorème de Carathéodory). C’est un développement qui vous demandera probablement beaucoup de temps de préparation, mais ce temps peut être rentabilisé par le nombre important de leçons dans lesquelles rentre ce développement. Mais si ce développement vous semble trop difficile, n’hésitez pas à l’abandonner.'

Cette version est ABSOLUMENT géniale parce qu'elle n'admet absolument aucun théorème (même pas Hahn-Banach !). On prouve tout !'

Joli résultat, mais développement somme toute assez risqué. Il faut maîtriser le théorème de projection sur les convexes fermés dans un Hilbert (bon en même temps, il faut le maîtriser de toute façon), la décomposition polaire, et plus précisément sa version non inversible, le dual de Mn(R) (pas trop difficile) et le fameux théorème de Carathéodory. En dimension finie, il est honnêtement démontré dans un des Gourdon (je ne sais plus si c'est en algèbre ou en analyse). Il passe relativement bien dans le temps imparti, mais il faut quand même bien le connaître, et ne pas trop traîner. Un schéma pour la propriété de séparation dans les Hilbert ne fait pas de mal. Le Queffelec traite le lemme, et le BMP le reste. Ceci dit, je n'étais pas convaincu de la qualité de ces références, il faut mieux bien connaître les preuves. Côté recasages à mon avis: - Espaces vectoriels affines et euclidiens : distances, isométries - Convexité dans Rn (de part l'utilisation importante des barycentres dans le lemme, et le fait qu'on parle quand même d'enveloppe convexe...) - Dualité et formes linéaires en dimension finie. Si on le recase dans cette leçon, il faut quand même prouver, je pense, que le dual de Mn(R) est ce qu'il est, quitte à enlever quelque chose d'autre. - Endomorphismes remarquables dans un ev de dimension finie Les remarques que j'ai mises à la fin du document sont purement personnelles ; elles font souvent référence aux difficultés que j'ai pu avoir au moment de préparer mes développements, peut-être certains pourront les trouver utiles... S'il y a une erreur dans le document ou quelque chose de douteux, vous pouvez me contacter par mail avec plaisir.'

Développement rédigé pour l'oral, attention aux éventuelles coquilles/erreurs. '

Mes documents sont longs, déjà parce que je parle vite (donc il faut beaucoup de contenus), que j'écris gros, et que j'aime bien comprendre dans les détails, mais aussi et surtout parce qu'il y a beaucoup de remarques/infos à la fin, pour essayer d'être capable de répondre au max de questions liées au dev ! Evidemment, il est fort possible qu'il y ait des coquilles de ci de là, n'hésitez pas à me les signaler ! (Bon courage !)'

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Résultat plutôt mignon ! Je pense que c'est un développement qui peut amener des questions assez dures (on utilise Hahn-Banach affaibli, des résultats en tout genre sur On(R) etc.) donc je le qualifierai de développement plutôt dur. Je le prends pour les leçons 159, 161 et 181. On trouvera la preuve aux alentours de la page 344 du Szpirglas et on utilise le théorème I.7 du Brézis (pour Hahn-Banach).'

Ma version reprend les références, mais elle reste quand même très différente. En fait, j'ai travaillé le développement à l'aide des références, puis j'ai enlevé les arguments qui ne servaient pas. Au final, j'ai conservé une trame de preuve similaire, mais les détails diffèrent par moments. C'est un développement particulier à travailler avec soin, de mon point de vue. Et aussi, j'ai un peu plus détaillé certains passages passés sous silence par les références. Attention aux coquilles.'

Recasages : 151,159,160,161,181,253 Lien direct vers le fichier : https://file.notion.so/f/s/1dcb3b75-ab4b-463c-b94b-d19aa384f9ba/Enveloppe_convexe_de_On(R).pdf?id=e7cc361a-8038-455d-b73d-71c3b0942b1a&table=block&spaceId=687bfd0e-1fc2-4484-9a48-571d8d7ee864&expirationTimestamp=1689890400000&signature=jswTPoVYRXlHyEUm1TIhveVrxZeg-bqjzU_FYxM2Fn0&downloadName=Enveloppe+convexe+de+On%28R%29.pdf Vous trouverez toutes mes ressources pour l'agrégation à cette adresse : https://www.notion.so/delbep/Agr-gation-c834c3492ca94b68b157e683e615536b?pvs=4 '

Si ma version peut aider des gens, avec plaisir ! Référence sur le document. Attention aux éventuels coquilles.'

Je fais le lemme 2 parce que je parle très vite mais on peut faire seulement le lemme 1 à l'oral. '

La version affaiblie de Hahn-Banach géométrique suffit largement pour ce développement à mon avis. Il y a bien assez de connaissances à avoir en tête pour le maîtriser avec Carathéodory, le dual de $\mathcal{M}_n(\mathbf{R})$ et la décomposition polaire.'

p344'

D'après moi pour les leçons : 159, 161 et 181. Ma version est une version \"minimale\" qui n'utilise pas Hahn-Banach, mais une version affaiblie du tout début de la démonstration de ce théorème dans un espace de Hilbert qui est très simple à démontrer. Attention à bien préciser que l'on admet deux gros théorèmes pour ce développement : Caratheodory et la décomposition polaire. NB : tous mes développements sont généralement très détaillés car j'ai besoin de bien comprendre toutes les étapes. En l'état ils sont donc généralement trop longs pour tenir en 15 mins, et les parties \"faciles\" ne sont donc pas à mentionner ou juste à l'oral. J'écris assez mal également, toutes mes excuses.'

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