101 - Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications.2025

Rapport du jury 2023

Le matériel théorique en accord avec le programme doit être présenté, accompagné d'illustrations pertinentes. Il faut pouvoir dégager l'intérêt des notions introduites avec des exemples d'actions bien choisies pour obtenir des informations soit sur un ensemble X donné, soit sur un groupe G donné et faire apparaître des sous-groupes intéressants de G comme stabilisateurs. Par ailleurs, la présentation doit illustrer comment l'étude des orbites de certaines actions revient à classifier certains objets, soit en trouvant un représentant simple de chaque orbite, soit en dégageant des invariants caractérisant les orbites. Les actions de groupes interviennent aussi efficacement dans des problèmes de dénombrements, notamment via la formule de Burnside. Les exemples peuvent être internes à la théorie des groupes (action naturelle de $\mathfrak{S}_n$ sur $\{1, \ldots, n\}$, action par translation ou par conjugaison, etc). Mais il est souhaitable d'emprunter aussi à d'autres domaines (action sur des anneaux, des espaces de matrices ou des espaces de polynômes, représentations de groupes, groupes d'isométries, etc). La géométrie fournit aussi de nombreux exemples pertinents (groupes d'isométries d'un polygone dans le plan ou d'un solide ou d'un polygone régulier dans l'espace).\rPour aller plus loin, on peut aborder l'action de $PGL_2(K)$ sur la droite projective menant au birapport\rou celle de $SL_2(K)$ sur le demi-plan de Poincaré ou les preuves par actions de groupes des théorèmes\rde Sylow ou encore d'autres actions donnant lieu à des isomorphismes exceptionnels. Il est aussi possible de s'intéresser aux aspects topologiques ou différentiels liés à certaines actions.

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Rapport du jury 2023

Rapport du jury 2022

Dans cette leçon, au-delà de la présentation du matériel théorique indispensable, le choix, l'organisation et la pertinence des illustrations sont des éléments forts de l'appréciation. Les deux facettes de\rl'action d'un groupe G sur un ensemble X doivent être maîtrisées : l'application de $G \times X$ vers X et\rle morphisme de G vers $\mathfrak{S}(X)$. La relation entre orbite et stabilisateur qui en découle est incontournable ainsi que des exemples de son utilisation. Il faut savoir utiliser des actions bien choisies pour\robtenir des informations soit sur un ensemble X donné, soit sur un groupe G donné et faire apparaître\rdes sous-groupes intéressants de G comme stabilisateurs. Par ailleurs, la présentation doit illustrer\rcomment l'étude des orbites de certaines actions revient à classifier certains objets, soit en trouvant\run représentant simple de chaque orbite, soit en dégageant des invariants caractérisant les orbites. Les\ractions de groupes interviennent aussi efficacement dans des problèmes de dénombrements, notamment\rvia la formule de Burnside.\rLes exemples peuvent être internes à la théorie des groupes (action naturelle de $\mathfrak{S}_n$ sur $\{ 1, \ldots, n \}$, action par translation ou par conjugaison, etc). Mais il est souhaitable d'emprunter aussi à d'autres\rdomaines (action sur des anneaux, des espaces de matrices ou des espaces de polynômes, représentations\rde groupes, groupes d'isométries, etc). La géométrie fournit aussi de nombreux exemples pertinents\r(groupes d'isométries d'un solide ou d'un polygone régulier).\rPour aller plus loin, on peut aborder l'action de $PGL2(K)$ sur la droite projective menant au birapport\rou celle de $SL_2(Z)$ sur le demi-plan de Poincaré ou les preuves par actions de groupes des théorèmes\rde Sylow ou encore d'autres actions donnant lieu à des isomorphismes exceptionnels. Il est aussi\rpossible de s'intéresser aux aspects topologiques ou différentiels liés à certaines actions.

Rapport du jury 2020

Dans cette leçon, au-delà de la présentation du matériel théorique indispensable, le choix, l’organisation et la pertinence des illustrations sont des éléments forts de l’appréciation. Les deux facettes de l’action d’un groupe G sur un ensemble X doivent être maîtrisées : l’application de $G \times X$ vers X et le morphisme de G vers $\mathfrak{S}(X)$. La relation entre orbite et stabilisateur qui découle des liens entre ces points de vue est incontournable ainsi que des exemples de son utilisation. Il faut savoir utiliser des actions bien choisies pour obtenir des informations soit sur un ensemble X donné, soit sur un groupe G donné et faire apparaître des sous-groupes intéressants de G comme stabilisateurs. Par ailleurs, la présentation doit illustrer comment l’étude de certaines actions revient à classifier certains objets, soit en trouvant un représentant simple de chaque orbite, soit en dégageant des invariants caractérisant les orbites. Les actions de groupes interviennent aussi efficacement dans des problèmes de dénombrements,\rnotamment via la formule de Burnside.\r\rLes exemples peuvent être internes à la théorie des groupes (action naturelle de $\mathfrak_n$ sur $\{1,\ldots, n\}$, action par translation ou par conjugaison, etc). Mais il est souhaitable d’emprunter aussi à d’autres domaines (action sur des anneaux, des espaces de matrices ou des espaces de polynômes, représentations linéaires, etc). La géométrie fournit aussi de nombreux exemples pertinents (groupes d’isométries d’un solide ou d’un polygone régulier).\r\rPour aller plus loin, on peut aborder l’action de $PGL_2(K)$ sur la droite projective menant au birapport ou celle de $SL_2(Z)$ sur le demi-plan de Poincaré ou les preuves par actions de groupes des théorèmes de Sylow ou encore d’autres actions donnant lieu à des isomorphismes exceptionnels. Il est aussi \rpossible de s’intéresser aux aspects topologiques ou différentiels liés à certaines actions.

Rapport du jury 2019

Dans cette leçon, au-delà de la présentation du matériel théorique indispensable, le choix, l’organisation et la pertinence des illustrations sont des éléments forts de l’appréciation. Les deux facettes de l’action d’un groupe $G$ sur un ensemble $X$ doivent être maîtrisées : l’application de $G \times X$ vers $X$ et le morphisme de $G$ vers $\mathfrak{S}(X)$. La relation entre orbite et stabilisateur qui en découle est incontournable ainsi que des exemples de son utilisation. Il faut savoir utiliser des actions bien choisies pour obtenir des informations soit sur un ensemble $X$ donné, soit sur un groupe $G$ donné et faire apparaître des sous-groupes intéressants de $G$ comme stabilisateurs. Par ailleurs,la présentation doit illustrer comment l’étude des orbites de certaines actions revient à classifier certains objets, soit en trouvant un représentant simple de chaque orbite, soit en dégageant des invariants caractérisant les orbites. Les actions de groupes interviennent aussi efficacement dans des problèmes de dénombrements, notamment via la formule de Burnside.\r\rLes exemples peuvent être internes à la théorie des groupes (action naturelle de $\mathfrak{S}_n$ sur $\{1, \ldots, n\}$, action par translation ou par conjugaison, etc). Mais il est souhaitable d’emprunter aussi à d’autres domaines (action sur des anneaux, des espaces de matrices ou des espaces de polynômes, représentations de groupes, groupes d’isométries, etc). La géométrie fournit aussi de nombreux exemples pertinents (groupes d’isométries d’un solide ou d’un polygone régulier).\r\rPour aller plus loin, on peut aborder l’action de $PGL_2(K)$ sur la droite projective menant au birapport ou celle de $SL_2(Z)$ sur le demi-plan de Poincaré ou les preuves par actions de groupes des théorèmes de Sylow ou encore d’autres actions donnant lieu à des isomorphismes exceptionnels. Il est aussi possible de s’intéresser aux aspects topologiques ou différentiels liés à certaines actions.

Rapport du jury 2017

Dans cette leçon, il faut bien dominer les deux approches de l’action de groupe : l’approche naturelle et l’approche via le morphisme du groupe agissant vers le groupe des permutations de l’ensemble sur lequel il agit. La formule des classes et ses applications immédiates sont incontournables. Des exemples de natures différentes doivent être présentés : actions sur un ensemble fini, sur un espace vectoriel (en particulier les représentations), sur un ensemble de matrices, sur des groupes ou des anneaux. Les exemples issus de la géométrie ne manquent pas (groupes d’isométries d’un solide). \r\rS’ils le désirent, les candidats peuvent aller plus loin en décrivant les actions naturelles de $\mathrm{PGL}(2,\mathbb{F}_q)$ sur la droite projective qui donnent des injections intéressantes pour $q = 2,3$ et peuvent plus généralement en petit cardinal donner lieu à des isomorphismes de groupes. En notant que l’injection du groupe de permutations dans le groupe linéaire par les matrices de permutations donne lieu à des représentations, ils pourront en déterminer le caractère.

Rapport du jury 2016

Dans cette leçon, il faut bien dominer les deux approches de l'action de groupe : l'approche naturelle et l'approche via le morphisme du groupe agissant vers le groupe des permutations de l'ensemble sur lequel il agit. La formule des classes et ses applications immédiates sont incontournables. Des exemples de natures différentes doivent être présentés : actions sur un ensemble fini, sur un espace vectoriel (en particulier les représentations), sur un ensemble de matrices, sur des groupes ou des anneaux. Les exemples issus de la géométrie ne manquent pas (groupes d’isométries d’un solide).\r\rS’ils le désirent, les candidats peuvent aller plus loin en décrivant les actions naturelles de $PGL( 2, F_q)$\rsur la droite projective qui donnent des injections intéressantes pour $q=2,3$ et peuvent plus généralement en petit cardinal donner lieu à des isomorphismes de groupes. En notant que l’injection du groupe de permutations dans le groupe linéaire par les matrices de permutations donne lieu à des représentations, ils pourront facilement en déterminer le caractère.

Rapport du jury 2015

Il faut bien dominer les deux approches de l'action de groupe : l'approche naturelle et l'approche, plus subtile, via le morphisme qui relie le groupe agissant et le groupe des permutations de l'ensemble sur lequel il agit. Des exemples de natures différentes doivent être présentés : actions sur un ensemble fni, sur un espace vectoriel (en particulier les représentations), sur un ensemble de matrices, sur des fonctions, voire des polynômes. Les exemples issus de la géométrie ne manquent pas (groupes d'isométries d'un solide). Certains candidats décrivent les actions naturelles de $PGL( 2, F_q)$ sur la droite projective qui donnent des injections intéressantes pour $q=2,3$ et peuvent plus généralement en petit cardinal donner lieu à des isomorphismes de groupes. Enfin, on pourra noter que l'injection du groupe de permutations dans le groupe linéaire par les matrices de permutations donne lieu à des représentations dont il est facile de déterminer le caractère.\r

Rapport du jury 2014

Il faut bien dominer les deux approches de l'action de groupe : l'approche naturelle et l'approche, plus subtile, via le morphisme qui relie le groupe agissant et le groupe des permutations de l'ensemble sur lequel il agit. Des exemples de natures différentes doivent être présentés : actions sur un ensemble fini, sur un espace vectoriel (en particulier les représentations), sur un ensemble de matrices, sur des polynômes. Les exemples issus de la géométrie ne manquent pas (groupes d'isométries d'un solide). Certains candidats décrivent les actions naturelles de $PGL(2, F_q)$ sur la droite projective qui donnent des injections intéressantes pour $q = 2, 3$ et peuvent plus généralement en petit cardinal donner lieu à des isomorphismes de groupes. Enfin, on pourra noter que l'injection du groupe de permutations dans le groupe linéaire par les matrices de permutations donne lieu à des représentations dont il est facile de déterminer le caractère.\r

Rapport du jury 2013

Il faut bien dominer les deux approches de l'action de groupe : l'approche naturelle et l'approche, plus subtile, via le morphisme qui relie le groupe agissant et le groupe des permutations de l'ensemble sur lequel il agit. Des exemples de natures différentes doivent être présentés : actions sur un ensemble fini, sur un espace vectoriel (en particulier les représentations), sur un ensemble de matrices, sur des polynômes. Les exemples issus de la géométrie ne manquent pas (groupes d'isométries d'un solide). Certains candidats décrivent les actions naturelles de $PGL(2, F_q)$ sur la droite projective qui donnent des injections intéressantes pour $q = 2, 3$ et peuvent plus généralement en petit cardinal donner lieu à des isomorphismes de groupes.

Développements

5	Action à gauche de GLm(K) sur Mnm(K)
5	Théorème du rang et topologie des orbites pour l'action par similitude
5	Isométries du cube
5	Groupe des isométries du cube
5	Nombre de points fixes d'une permutation aléatoire
5	Théorème de Cauchy pour les groupes
5	Théorèmes de Sylow (Version de Wielandt)
5	Des groupes bien mélangés par leurs automorphismes
5	Réduction des isométries
5	Théorème de Sylow (version opération de groupes)
5	Théorème de Frobenius (Sous-groupe distingué d'un groupe fini)
5	A5 est l'unique groupe simple d'ordre 60
5	Présentation des groupes PGLn et PSLn
5	Automorphismes de Sn
5	Théorème de Cauchy + Condition suffisante pour qu’un sous groupe soit distingué
5	S4 est un groupe de pavage
5	Théorème de Burnside (Groupes simples)
5	Détermination des groupes d'isométries du cube et du tétraèdre
5	Théorème de Cauchy et de Sylow(récurrence)
5	Générateurs de SL2(Z) et SL2(Z/NZ)
5	Dénombrement des matrices nilpotentes de taille $d \times d$ à coefficients dans $\mathbb{F}_q$
5	Dénombrement des matrices nilpotentes d'indice n dans Mn(Fq)
5	Nombre d'endomorphismes nilpotents sur un corps fini
5	Des isomorphismes exceptionnels des groupes linéaires projectifs d'un corps fini
5	Dénombrement des colorations du cube
5	Classification des groupes d'ordre p^2
5	Matrices diagonalisables sur un corps fini, critère de diagonalisibilité et dénombrement des matrices diagonalisables
5	Action de Steinitz
5	Générateurs de Sn
5	Nombre de matrice sur un corps finis de polynôme caractéristique donné
5	Isomorphisme entre PGL(2,F5) et S5
5	Combinatoire matricielle (corps finis). Cône nilpotent.
5	Théorème de simplicité d'Iwasawa
5	Dénombrement des automorphismes diagonalisables de Fq
5	Dénombrement des matrices diagonalisables de Mn(Fq)
5	Table de caractères à valeurs entières (Condition suffisante pour que ton petit cousin lise ta table de caractères)
5	Un isomorphisme entre groupes de Lie
5	Représentation par permutation et formule de Burnside
5	Théorème de Sylow (par récurrence sur le cardinal)
5	Théorème de Polya
5	Formule de Burnside + Double transitivité + Table de caractères de S4
5	Probabilité que deux éléments commutent dans groupe
5	Décompostion de Bruhat et drapeaux
5	Théorème de Brauer
5	Groupe des isométries du cube et ses sous-groupes de Sylow
5	Centre d’un p-groupe
5	Correspondance drapeaux et p-Sylow de GLn(Fp)
4	Action du groupe modulaire sur le demi-plan de Poincaré
4	Table de caractères de S4 et les isométries du tétraèdre
4	SO₃(R) et les quaternions
4	Table de caractères de S4 par les isométries positives du cube, étude des sous-groupes distingués
4	Cardinal du cône nilpotent
4	Etude du groupe Diédral
4	Nombre de classes de conjugaison
4	Quaternions et isomorphismes exceptionnels
4	Théorème de Kakutani. Application aux ss-gp compacts de GLn(R) ou à l'existence d'une mesure de Haar
4	Isomorphisme entre PSL2(C) et SO3(C)
4	Ellipse de Steiner en utilisant le groupe affine.
4	Simplicité du groupe alterné An
3	Nombre de solutions à une équation dans un groupe fini G
3	Lemme d'Ore
3	Indicateur de Frobenius-Schur
3	Théorème de Brouwer par le logarithme
3	SO3(R) est un groupe simple, connexe et compact
3	Loi de réciprocité quadratique (via les formes quadratiques)
3	Un isomorphisme entre groupes topologiques
3	Théorème de Wedderburn
3	Dénombrement des endomorphismes nilpotents sur un corps fini
3	Galois inverse
3	Théorème de Mason \"The Line\" Dixon.
3	Lemme de Fitting et cardinal du cône nilpotent
3	Combinatoire des chemins de Dyck
3	Base de Burnside
3	Étude du groupe A4
3	Polynômes semi-symétriques
3	Le groupe SO3(R) est simple
2	Invariants de similitude (réduction de Frobenius)
2	Classification des formes quadratiques sur Fq
2	Classification des groupes d'ordre p^2 et 2p
1	Dénombrer les endo nilpotents sur un corps fini
1	Slim
1	Paires génératrices de sous-groupes de S_n
1	Théorie de Polya

Plans

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Utilisateur : Julos

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La plupart des mes plans sont inspirés de Ewna, Agentb0, Jouaucon, Abarrier et Marvin. Merci à eux. Attention aux coquilles ! Mes plans sont, en général, scannés juste après que j'ai finis de rédiger, bien sur que je les ai relu j'ai trouvé des erreurs. Les références sont à la fin des plans. Je pense que le but de cette leçon est de bien mettre en avant le côté exemple et application. Je préfère mes dev 2 et 3 qui sont peut-être un peu plus originaux que la simplicité de An.

Références :

Utilisateur : Coquillages & Poincaré

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Retrouvez toutes les leçons et tous les développements, ainsi que des cours (avec les fichiers sources) sur mon site www.coquillagesetpoincare.fr

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Utilisateur : TC&WM

Retrouvez tous nos plans de leçons ainsi que les fichiers latex associés à nos leçons sur notre site : https://sites.google.com/view/tribalchiefandwiseman/home?authuser=0 Bonne preparation à vous !

Références :

Utilisateur : Tintin

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Il faut mettre en avant d'un côté l'action d'un groupe sur un ensemble et d'un autre côté d'un groupe sur lui-même afin de dégager le plus de propriétés possibles et d'illustrer un maximum ces propriétés par des exemples variés dans divers domaines (algèbre linéaire/commutative, théorie des groupes, géométrie, ...). N'hésitez pas à me contacter si vous constatez ce qui semble être une erreur (typographie, mathématique, etc).

Références :

Algèbre : le grand combat: Cours et exercices

Carnet de voyage en Analystan

Cours d'algèbre

Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie

Carnet de voyage en Algébrie

Algèbre et géométrie

Nouvelles histoires hédonistes de groupes et géométrie, tome 2

Utilisateur : Théo Ternier

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Voici un plan possible pour la leçon 101. Mes plans sont très souvent inspirés de Ewna et Abarrier (merci à eux deux !) J'ai laissé des questions/exercices que j'ai pu traiter pendant mon année de préparation, n'hésitez pas à me dire si vous voyez une erreur ou un raisonnement trop rapide.

Références :

Cours d'algèbre

Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie

Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 1

Utilisateur : Mathis Lemay

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L'idée de mettre en valeur les deux aspects de la leçon (agir pour comprendre le groupe / pour comprendre l'ensemble) ne vient pas de moi, je pense que c'est une bonne idée car c'est suggéré par le rapport du jury

Références :

Cours d'algèbre

Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 1

Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie

Théorie des Groupes

Algèbre : le grand combat: Cours et exercices

Utilisateur : Hugo

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Premier plan que j'ai fait. Il a été rédigé en 2021, donc comporte une partie sur les représentations linéaires de groupes finis, qui ne sont plus au programme. Les références sont indiquées à la fin du plan. N'hésitez pas à me contacter pour me signaler toute erreur ou imprécision.

Références :

Utilisateur : ma_tilde

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Je suis restée dans les notions classiques car je n'ai pas le niveau d'explorer des horizons trop compliqués, j'espère que ça vous aidera à avoir une idée de ce qui peut être fait. Mes plans ne sont pas vérifiées donc il faut garder un regard critique sur ces derniers. En les révisant j'ai trouvé beaucoup de coquilles et fautes de frappes, j'ai essayé d'en corriger un maximum mais il est évident qu'il en reste encore, désolée pour cela. Les remarques en rose ne font pas partie du plan, c'était des remarques pour quand je les réviserai. Bon courage pour votre préparation !

Références :

Mathématiques Tout-en-un pour la Licence 2

Algèbre : le grand combat: Cours et exercices

Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie

Carnet de voyage en Analystan

Utilisateur : Brunel

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Mes métaplans ne sont pas vérifiés par une personne compétente, attention donc à la pertinence de ceux-ci.

Références :

Cours d'algèbre

Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie

Utilisateur : Mylene

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Références :

Cours d'algèbre

Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie

Théorie des groupes (bis)

Algèbre L3

Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 1

Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 2

Utilisateur : Bertin Thomas

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Références :

Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie

Cours d'algèbre

Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 1

Utilisateur : Demesmay

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Possibilité d'avoir ma version complète manuscrite en me contactant par mail.

Références :

Utilisateur : JULIEN L

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Références :

Cours d'algèbre

Théorie des Groupes

Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie

Utilisateur : RMaurice

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Voici mes plans de leçons que j'ai réalisé en format complet. Si cela peut aider des gens, avec plaisir ! Tout mes plans de leçons sont inspirés majoritairement de Jouaucon, Marvin et abarrier ( Merci à eux ! ). Les références sont à la fin. Attention aux éventuels coquilles.

Références :

Utilisateur : EWna

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Références :

Théorie des Groupes

Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie

Algèbre L3

Carnet de voyage en Algébrie

Utilisateur : Pandou

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Il faut être solide sur la géométrie différentielle avant de vouloir différentier les actions !

Références :

Cours de Mathématiques - 1 Algèbre

Éléments de théorie des groupes

Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 1

Groupes de Lie classiques

Utilisateur : Jouaucon

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Plan très fortement inspiré du plan de M. Cacitti-Holland: http://perso.eleves.ens-rennes.fr/~dcaci409/Agregation.html#lecons Références en fin de plan avec les notations: [Rom] Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie : Jean Etienne Rombaldi [Ulm] Théorie des Groupes : Félix Ulmer [Per] Cours d'algèbre : Perrin [Isen] L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements : Isenmann, Pecatte

Références :

Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie

Théorie des Groupes

Cours d'algèbre

L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements

Utilisateur : Aurélie BIGOT

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Références :

Théorie des Groupes

Algèbre L3

Utilisateur : Manon DUBOIS

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On peut aller bien plus loin dans les représentations mais j'avais choisi de ne mettre que ce qui utilisait vraiment la définition d'une action de groupe

Références :

Utilisateur : Marvin

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Références :

Cours d'algèbre

Nouvelles histoires hédonistes de groupes et géométries

Utilisateur : F.A.

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Toutes les références sont à la fin du plan. Mes excuses pour l'écriture, et attention aux coquilles...

Références :

Utilisateur : 20-sided dice

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Ce plan est divisé selon la structure de l'ensemble sur lequel le groupe agit.

Références :

Théorie des Groupes

Cours d'algèbre

Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 1

Elements d'analyse et d'algèbre

Utilisateur : abarrier

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Références :

Utilisateur : Owen

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Références :

Théorie des Groupes

Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 1

Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 2

Cours d'algèbre

Utilisateur : Etienne Donier-Meroz

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Références :

Utilisateur : Inèss

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Références :

Utilisateur : Florian Dussap

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Références :

Utilisateur : nitro

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Pas tout à fait finie

Références :

Cours d'algèbre

Invitation à l'algèbre

Utilisateur : Agnielli

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Ebauche numérique de plan.

Références :

Utilisateur : Marie

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Mis à jour le 8.05.17

Références :

Éléments de théorie des groupes

Algèbre

Algèbre linéaire

Cours d'algèbre

Utilisateur : Victor

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Références :

Utilisateur : Promo ENSL 2016

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Références :

Utilisateur : Promo ENSL 2016

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Références :

Retours

Utilisateur : Admin | Année : 2024

Leçon choisie : 1487

Autre leçon : Pas de réponse fournie.

Développement choisi par le jury : Surjectivité de l'exponentielle matricielle

Autre développement proposé : Pas de réponse fournie.

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

Note obtenue : Pas de réponse fournie.

Références:

Utilisateur : Admin | Année : 2024

Leçon choisie : 1487

Autre leçon : Groupe des nombres complexes de module 1. Racines de l’unité. Applications.2025

Développement choisi par le jury : Décomposition de Dunford (version non algorithmique)

Autre développement proposé : Pas de réponse fournie.

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

Note obtenue : Pas de réponse fournie.

Références:

Utilisateur : alix89 | Année : 2024

Leçon choisie : 1487

Autre leçon : Convexité dans Rn. Applications en algèbre et en géométrie.2025

Développement choisi par le jury : Lemme de Fitting et cardinal du cône nilpotent

Autre développement proposé : Pas de réponse fournie.

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
Je rentre, le jury me rappelle les consignes de l'épreuve. Puis me disent que je peux quand je le souhaite. Je commence par présenter mon plan de leçon (environ 6'10 - le jury ne m'arrête pas malgré ce léger dépassement). Puis tous les membres du jury étaient d'accord pour prendre mon développement sur le nombre de matrices nilpotentes de taille dxd sur un corps de cardinal q. Ils me rappellent que je peux regarder BRIÈVEMENT mes notes (ce que je ne fais pas connaissant bien ce développement l'ayant présenté 2 fois au cours de l'année de préparation) Je fais exprès lors de ce développement de passé sous silence le cardlinal de GLn(Fq) qui fera l'objet de ma première question du jury (perche tendue prise). Puis le jury n'ayant pas d'autres questions sur le développement, celui-ci passe aux questions réponses. Voici les différentes questions qui m'ont été posées : 1) Ayant parlé dans la leçon des différentes actions sur les espaces de matrices, donc ayant parlé de la matrice Jr relié à la relation d'équivalence et du rang. Le jury me demande la classe de similitude de Jr. R: Je sèche, ceux-ci me posent diverses questions (en terme de sous-espaces stables etc...). Après quelques échanges, sur avoir seulement 0,1 comme valeurs propres de dimension exactement n-r et r, on arrive enfin au fait que ces matrices sont celles des projecteurs. 2) Montrer que A4 n'est pas engendré par les 3 cycles R: (en posant une action de A4 sur le sous-groupe engendré par les 3 cycles par conjugaison) puis en supposant par l'absurde que cela était le cas, en appliquant la relation orbite stabilisateur, on obtient une contradiction 3) Considérons E un ensemble fini non multiple de p premier et sigma une permutation d'ordre p. Montrer que sigma a un point fixe. R: Passer par l'absurde et écrire la décomposition en cycle à support disjoint de sigma. Or l'ordre de sigma est le ppcm des ordres de cycles à support disjoint. Celui-ci étant p, tout les cycles sont d'ordre p, ou 1. Puis en écrivant l'équation aux classes associé à l'action du sous-groupe engendré par sigma sur E. On obtient une contradiction. (Cette question j'avais toutes les idées, mais un peu de mal à mettre en place, le jury m'a accompagné tranquillement quand je bloquais) 4) Considérons u un endormorphisme diagonalisable de E un K-ev de dimension n. Déterminer la dimension du commutant de u (La j'avoue que j'ai vu ça j'ai totalement bloqué, je voyais pas le lien avec ma leçon, spoiler : y'en avait pas. - j'ai essayé de poser une action par conjugaison depuis le groupe linéaire sur L(E). Mais ça n'aboutissait pas. Le jury m'a conseillé de regardé deux cas extrêmes : a) u une homothétie b) u possède n valeurs propres distinctes) R : dim C(u) = la somme des ( multiplicité des espaces propres) au carré. En s'intéressant à l'écriture matricielle voire : http://mpstar.lamartin.free.fr/fichiers/matieres-640-1413608066.pdf par exemple 5) (On a parlé un moment pendant l'oral d'endomorphismes cycliques à la question 4) donc on est revenu brièvement dessus à la toute fin de l'oral alors qu'il restait 1 minute). Le jury m'a demandé de redonner précisément ma définition d'endomorphisme cyclique : R: il existe x0 dans E, tel que (x0,u(x0),...,u^n-1(x0)) est une base de E. 6) Il restait 10 secondes (le jury me l'a fait savoir en posant la question). Quel x0 conviendrait si on considère u diagonalisable à n v.p simples pour montrer que u est cycliques ? R: x= sommes des x_i où les x_i sont des vecteurs.p associés aux v.p Mon impression en sortant : L'impression d'avoir bien géré mes 6 minutes, d'avoir bien fait mon développement (pas de questions dessus), mais d'avoir bloqué sur les questions, où ils devaient de temps en temps me donner des indications. Spoiler : ne vous écoutez pas toujours, vous êtes le moins bon pour vous juger après une épreuve !! RMQ : 1 visiteur

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Jury très agréable (composé de deux hommes et une femme, et dirigé par un des deux hommes), qui laisse le temps de réfléchir s'il voit que vous cherchez, mais qui n'hésite pas aussi à vous aider si vous bloquer, à vous donner des indications. Jury qui vous conseille d'avoir confiance en vous, que la réponse est là. Très plaisant.

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.
L'oral s'est passé comme prévu, pas de surprises, comme lors de la préparation toute l'année. Concernant la préparation, pensez à profiter des 15 minutes de battements pour relire tranquillement vos développements prise en note pendant la préparation, et à revenir sur vos 6 minutes !

Note obtenue : 16.0

Références:

Utilisateur : jojolafleurbleue | Année : 2018

Leçon choisie : 1487

Autre leçon : Espaces vectoriels et espaces affines euclidiens : distances, isométries.2025

Développement choisi par le jury : Théorème de Lie-Kolchin

Autre développement proposé : Pas de réponse fournie.

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
Dans Lie-Kolchin, où vous servez vous de l'hypothèse \"G non abélien\"? -A la fin on écrit D^(l-1)(G)=D(D^(l-2)(G)), ce qui n'est possible que parce que l>=2, car G non abélien. Montrez le théorème de trigonalisation simultanée dans le cas abélien? -On a plus besoins d'aucune hypothèse sur la partie si ce n'est qu'elle est abélienne. La récurrence ce passera exactement comme dans Lie-Kolchin. Le cas trivial est le cas où tous les éléments sont des homotéthies. Sinon il existe un élément qui a un sous-espace propre non triviale et non tout l'espace, c'est ce sous espace qui permet de conclure par récurrence sur la dimension. Connaissez-vous un exemple de sous groupe résoluble connexe de GLn(C)? -Le sous groupe des matrices triangulaires supérieures inversibles. Plusieurs définitions équivalentes de groupe résoluble? -Définition par le groupe dérivée et par la suite de sous groupes distingués. Décrire les classes de conjugaison de Sn? -Une classe est déterminée par une partition de n. Les donner et les dénombrer pour n=5. Quels sont les éléments du groupe symétrique qui peuvent s'écrire comme des carrées? -On regarde d'abord ce qui ce passe sur les cycles et on voit que les carrées sont les éléments qui n'ont dans leur décomposition en cycles à supports disjoints que des cycles impairs et des paires de cycles pairs. (Il m'a fallut pas mal d'aide pour celle là) Si l'on choisit uniformément deux éléments dans un groupe fini G peut on estmer la proba qu'ils commutent l'un avec l'autre? -Je n'ai pas réussi à conclure. Si G est abélien la prob est 1 sinon: on écrit ce que l'on cherche à calculer comme un quotient, puis on développe ça comme une somme sur les éléments de G, comme G est abélien #(G/Z(G))>=4, c'est cette inégalité qui pourra nous aider. Pouvez vous montrer que le centre d'un p-groupe est non trivial? -Démonstration classique. Quels sont le groupe d'ordre 49? -Selon le thm de structure des GAF, il n'y a que deux groupes abéliens non isomorphes, tous les groupes d'ordre p^2 sont abéliens. Les groupes d'ordre p^2? -Même réponse il suffit de changer 7 par p. On a une représentation du groupe symétrique via les matrices de permutations, pouvez vous donner toutes les sous-représentations irréductibles de cette représentation? -Soit (ei)_i une base de R^n S_n agit sur R^n par f.ei=ef(i). La droite engendrée par la somme des vecteurs de la base est invariante. L'hyperplan d'équation f(somm(liei))=somme(li)=0 en est un supplémentaire stable. A isomorphisme près la théorie des représentation donne l'unicité. Oui mais pouvez vous montrez que ce sont bien les seules, pas à isomorphismes près? -On finit par y arriver par le calcul.

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Le jury aidait beaucoup et était sympathique.

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

Note obtenue : 17.25

Références:

Utilisateur : Retournard | Année : 2017

Leçon choisie : 1487

Autre leçon : Espaces vectoriels et espaces affines euclidiens : distances, isométries.2025

Développement choisi par le jury : Théorème de Sylow (version opération de groupes)

Autre développement proposé : Pas de réponse fournie.

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
Quelques question de détermination de p-Sylow de groupe donnée comme S4. Détermination des groupes à 2 classes de conjugaison (il n'y a que Z/2Z).

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Ne laissait rien paraître.

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

Note obtenue : Pas de réponse fournie.

Références:

Utilisateur : Sergent | Année : 2017

Leçon choisie : 1487

Autre leçon : Exemples d’équations en arithmétique.2023

Développement choisi par le jury : Base de Burnside

Autre développement proposé : Pas de réponse fournie.

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
Qqs questions sur le développement: -pourquoi G/H abélien <=> D(G)inclus dans H -pourquoi G/H isomorphe à Z/pZ Surtout des questions sur le plan : -qu'est-ce qu'une action n-2 transitive -démo des isomorphismes exceptionnels (en particulier PSl(2,F3)=A4) -j'avais parlé de représentation par permutation donc ils m'ont demandé de refaire la table de S4 en gros -pourquoi la somme des carrés des degrés vaut le cardinal du groupe ? -un seul exercice : action de On par congruence sur Sn++, quels sont les invariants ?

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Bienveillants, ils sont là pour qu'on donne le meilleur de nous-mêmes.

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.
J'ai eu de la chance sur le tirage. Les examinateurs ne vont pas chercher la petite bête et vérifient surtout si vous connaissez ce que vous avez mis dans le plan. Il faisait 33°C à Lille à ce moment là (premier jour) donc c'était épuisant.

Note obtenue : Pas de réponse fournie.

Références: