Théorème de Cesàro par la formule du produit eulérien
Soit $a, b$ deux variables aléatoires uniformes indépendantes sur $\{1, ..., n\}$, et $\pi_n = \mathbb{P}(a \wedge b = 1)$. Alors $\pi_n$ tend vers $\frac{6}{\pi^2}$ quand $n \to + \infty$.
Pour cela, on utilise la formule du produit eulérien montrée par la loi zêta, et le théorème des nombres premiers.
| Qualité | Numéro | Titre |
|---|---|---|
| 5 | 121 | Nombres premiers. Applications. 2026 |
| 5 | 244 | Exemples d'études et d'applcations de fonctions usuelles et spéciales.2024 |
| 5 | 264 | Variables aléatoires discrètes. Exemples et applications.2026 |
| 5 | 266 | Utilisation de la notion d’indépendance en probabilités.2026 |
| 3 | 230 | Séries de nombres réels et complexes. Comportement des restes ou des sommes partielles des séries numériques. Exemples.2026 |
| 2 | 190 | Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.2026 |
Utilisateur : 20160
De base, un développement pas très original qui utilise la loi zêta (et donc les probas) pour démontrer la formule du produit eulérien. Le corollaire incontournable est la divergence de la série des inverses des nombres premiers. Pour jouer la carte d'originalité, je le remplace par un corollaire sur la primalité relative dû à Cesàro, que beaucoup montrent à l'aide de la fonction de Möbius mais qui peut également se montrer en reprenant l'idée de la preuve précédente. Je m'inspire d'un pdf trouvé en ligne, corrigé grâce à l'aide des contributeurs de Stack Exchange. On utilise pour conclure que la proportion de nombres premiers $\pi(n)/n$ tend vers zéro, ce qui est un corollaire du TNP.'
Références :