Théorème de Polya (chaînes de Markov)

Soit $(X_n)_{n \in \mathbb N}$ une suite de variables aléatoires modélisant une marche aléatoire sur $\mathbb Z^d$ et vérifiant\r$$ X_0 = 0 \quad \text{et} \quad \forall n \in \mathbb N^*, \ X_n = \sum_{k=1}^n \xi_k,$$\roù les $\xi_k$ sont des variables aléatoires i.i.d de loi uniforme sur $\lbrace \pm e_1, \ldots, \pm e_d \rbrace$, où $e_1, \ldots, e_d$ désignent les vecteurs de la base canonique de $\mathbb R^d$.\rLa suite $(X_n)_{n \in \mathbb N}$ est récurrente (i.e. revient en $0$ en un temps fini presque sûrement) ssi $d \leq 2$.