Formule d'inversion de Pascal

Soit $(a_n)_{n\in\mathbf{N}}$ et $(b_n)_{n\in\mathbf{N}}$ deux suites réelles vérifiant pour tout entier $n$, $$a_n=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}b_k.$$ Alors $$b_n=\sum_{k=0}^n(-1)^{n-k}\binom{n}{k}a_k$$ Cette formule peut être appliquée au dénombrement des permutations sans point fixe et au nombre de surjections de $\{1,\dots,p\}$ sur $\{1,\dots,n\}$.