Nombre de dérangements

Soit $\mathcal{D}_n:=\{\sigma\in\mathfrak{S}_n\mid\sigma\text{ n'a pas de point fixe}\}$. (Un élément de $\mathcal{D}_n$ est appelé un dérangement) Notons $d_n:=|\mathcal{D}_n|$. Alors : 1/ Par des arguments classiques de dénombrement, on obtient $\displaystyle d_n=n!\sum_{k=0}^n\frac{(-1)^k}{k!}$ 2/ On peut retrouver cette égalité en établissant l'identité $\displaystyle n!=\sum_{k=0}^n{n\choose k}d_k$ puis en utilisant la série entière $\displaystyle \sum_{n\geqslant1}\frac{d_n}{n!}z^n$ 3/ On a en fait une formule plus explicite de $d_n$ : $$d_n=\left\lfloor \frac{n!}{e}+\frac{1}{2}\right\rfloor.$$