Un problème de dénombremement sur les corps finis : Le problème de Kakeya

Initialement, le problème de Kakeya consiste à retourner une aiguille de longueur 1 sur le plan $\mathbb{R}^2$. La question étant ”Quelle est l’aire minimal à couvrir pour retourner une aiguille”. Généralisant l'idée selon laquelle, lorsque que l’on retourne l’aiguille, on a nécessairement parcouru toutes les directions du plan, on se demande alors, étant donné un espace affine sur un corps fini $\mathbb{F}_q$ de dimension $n$, combien de points doit-on prendre pour s’assurer d’avoir une droite contenant chacunedes directions de l’espace affine ? Un tel espace est appelé espace de Kakeya. Plus formellement, on montre que pour tout $K$ espace de Kakeya : $\begin{equation} |K|\geq \frac{1}{n!}q^n \end{equation}$