Théorème du point fixe de Brouwer par le lemme de Sperner

On démontre le théorème du point fixe de Brouwer (en dimension 2, même si la preuve se généralise bien pour peu qu'on sache ce qu'est une triangulation avec des simplexes en dimension quelconque) qui énonce qu'une application continue d'un convexe compact dans lui-même admet toujours un point fixe. La preuve proposée se base sur un lemme combinatoire sur le nombre de triangles dont les sommets sont coloriés avec des couleurs différentes pour certains coloriages de triangulations d'un triangle (n'hésitez pas à relire cette phrase si nécessaire).