149 - Déterminant. Exemples et applications.2025

Leçon choisie : 1504

Autre leçon : Convexité dans Rn. Applications en algèbre et en géométrie.2025

Développement choisi par le jury : Théorème de Bézout faible (par le résultant)

Autre développement proposé : Pas de réponse fournie.

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
J'étais très satisfait de mon plan, basé majoritairement sur… Berhuy (!! bien content de l'avoir amené, malgré son poids) : I — Déterminants : définitions a. Déterminant d'une famille de vecteurs b. Déterminant d'un endomorphisme c. Déterminant de matrices -> avec l'interprétation géométrique (cf. BMP) et un dessin en annexe (cf. annexe graphique du plan d'EWna!) II — Calcul explicite de déterminants a. Mineurs et cofacteurs b. Pivot de Gauss c. Cas pratiques (déterminant par blocs, matrice circulante) III — Applications a. Polynôme caractéristique b. Résultant 42 items en tout, qui m'ont rempli les trois pages. J'ai fait un (je trouve) bon oral, une intro sympa et fluide. Le dev s'est presque bien passé. Presque… Questions : - J'ai passé un mauvais quart d'heure sur une phrase innocente dans le dev Bézout faible, mais qui ne l'est pas : « Si $(x,y)$ est un zéro commun de $P$ et $Q$, alors $x$ est l'une des racines de $Res_Y(P,Q)$, $y$ est l'une des racines de $Res_X(P,Q)$. » [cf. Foissy, Ninet] Non seulement je m'étais perdu dans mes notations au tableau, puis j'avais confondu (et j'ai longtemps confondu $Res_Y$ et $Res_X$)… et surtout je n'avais pas cette proposition dans mon plan, donc il m'a demandé de la redémontrer à partir de mon plan, ce que je ne savais pas faire. C'est la Proposition 7.2.2 dans Fleury 2nde édition : mettez la dans votre plan ! Elle est pas difficile à démontrer mais elle est technique et utilise la représentation du résultant via l'isomorphisme avec les coefficients de Bézout [cf. von zur Gathen, Gerhard], bref… Visiblement la seule femme du jury n'était pas au point avec le résultant, j'entendais le jury qui discutait technique derrière moi. Après quinze minutes de tentatives, ils passent à autre chose en disant « <i>C'est un point technique.</i> » - Dans mon intro j'avais dit que le calcul du déterminant par la formule explicite était en complexité « exponentielle » (alors que j'ai écrit $O((n+1)!$) opérations). Ils m'ont demandé de redétailler ces calculs, puis m'ont demandé si j'étais sûr avec mon « exponentielle ». J'ai dit oui, ils m'ont demandé de comparer la factorielle et l'exponentielle, j'ai commencé à dire que factorielle était inférieur à l'exponentielle, puis pour me ressaisir j'ai fait un graphe qui m'a corrigé. « <i>Et mathématiquement, vous le prouvez comment ?</i> » J'ai écrit n! / e^n, je veux prouver que ça tend vers +inf, ils m'ont demandé « <i>quel outil de L1 utiliser ?!</i> » je ne savais pas, j'ai dit qu'on devait utiliser la formule de Stirling, mais que je ne la connaissais pas (« <i>Y a du e, du n, du 2pi, une racine carrée… mais je ne saurai pas la retrouver</i> ») super - Comment montrer que det(M) = det($^t m$) ? -> via la formule explicite, et le changement de variable j <- sigma(j) qui est bien valide car on somme sur tous les j donc on ne change pas le det avec une permutation des j - Dans mon plan j'avais mis en exemple « Les symétries sont diagonalisables ». Comment faire via le déterminant (et le polynôme caractéristique) ? Alors là je dis qu'une symétrie vérifie s² = Id, donc s annule X² - 1, puis je me perds en disant (mais quoi, Id != 1, donc pourquoi!?) et ce sont eux qui me rappellent que quand on étudie un polynôme d'endomorphisme, le coefficient constant est mis en face de Id… bref super [j'ai l'impression que je me suis beaucoup auto-saboté durant mon oral] Mais comment utiliser le déterminant ? On me demande alors la définition géométrique d'une symétrie, je donne celle d'une symétrie… orthogonale ! Mais dans le cas d'un espace pas nécessairement euclidien ? Eh bien je redécouvre, avec l'aide du jury, le concept de symétrie par rapport à un sev, parallèlement à un autre… Bon, j'avais fait des dessins, donc j'espère qu'ils notent la tentative de recherche. Après toutes ces élucubrations, je dis que matriciellement en prenant des bases de V et W, alors la matrice admet des 1 sur le sev V, -1 sur le sev W, donc voilà. - Exo : soit u,v deux endomorphismes d'un espace vectoriel de dimension finie, v nilpotent, uv = vu. Montrez que det(u+v) = det(u). D'abord j'ai commencé avec Dunford sur u + v mais u, v ne sont pas des polynômes en u donc c'est pas nécessairement ça. Ils me disent que commencer avec un exemple, je pars sur les homothéties, pour lesquelles det(u+v) = det(λid + v) ie. le polynôme caractéristique de -v évalué en λ, or -v est nilpotent car v l'est, donc son polynôme caractéristique est X^n, d'où det(u+v) = λ^n. Le temps était écoulé. (ils m'ont dit qu'ensuite j'aurais dû prendre un inversible, puis après généraliser ça par densité)

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Trois personnes (2 hommes, une femme). Neutre, aucun sourire contrairement aux deux précédents jurys. Ils m'ont posé des questions, j'ai répondu ou non, l'oral s'est conclu. La personne qui m'a posé la question était quand même intéressée que je demande comment finir l'exercice.

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.
J'ai fait : 45 minutes pour réécrire les titres et sous-parties de mon plan, puis les deux devs (dont suites de polygônes que j'avais dû connaitre par cœur car Isenmann-Pécatte était interdit cette année-là), puis 1 h 45 sur le plan, 10 minutes à faire des dessins en annexe. J'ai passé les dernières minutes à me reposer (pour éviter d'avoir un coup de barre comme le 1er jour), préparer mon intro, et surtout relire la preuve du fait que les formes n-linéaires alternées forment un espace vectoriel de dimension 1, car j'avais peur que le jury m'interroge dessus.

Note obtenue : 11.25

Leçon choisie : 1504

Autre leçon : Anneaux Z/nZ. Applications.2025

Développement choisi par le jury : Théorème de Bézout faible (par le résultant)

Autre développement proposé : Pas de réponse fournie.

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
Montrer det(fog)=det(f)det(g) Sur quels corps det est continue? Donner un exemple où l'on a exactement dd' points dans le théorème de bezout ( P= (x-x_1)...(x-x_d) et Q=(Y-y_1)...(Y-y_d') ) GLn(R) est il connexe par arcs, puis montrer que non. Et Gln(C) , avec une idée d'une demo.

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Aide

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

Note obtenue : 12.0