Inégalité de Carleman

Soit $\Sigma a_n$ une série convergente à termes positifs. Alors on a :\r$$\r\Sigma_{n=1}^{+\infty} (a_1...a_n)^{1/n} \leq e \Sigma_{n=1}^{+\infty} a_n\r$$\rEt $e$ est la meilleure constante réalisant cette inégalité. \r\rOn peut ajouter éventuellement l'inégalité arithmético-géométrique. \r\rFGN analyse 1 p208