Théorème de Bohr-Mollerup (par la méthode d'Artin)

Toute fonction $f:\mathbb R^*_+ \rightarrow \mathbb R^*_+$ vérifiant (a) $f(x+1)=xf(x)$ pour tout $x>0$ (b) $f(1)=1$ (c) $f$ est logarithmiquement convexe est égale à la fonction $\Gamma$. Dans la preuve, nous montrons en particulier la formule de Gauß $$\Gamma(x) = \displaystyle\lim_{n\to +\infty} \frac{n^xn!}{(x+n)\ldots (x+1)x}$$ Le théorème de Bohr-Mollerup permet également de montrer sans calcul la formule de Legendre et celle reliant $\Gamma$ à la fonction Bêta.