Théorème de Birkhoff - Application au transport optimal

On montre que toute matrice bi-stochastique (on note l'ensemble des matrices bistochastiques $B_n$) est combinaison convexe de matrices de permutations. Selon les leçons on peut montrer plusieurs points :\r- $B_n$ est un convexe compact\r- L'ensemble des points extrêmaux de $B_n$ est égale à l'ensemble des matrices de permutations (Birkhoff)\r- On montre que les extremums d'une forme linéaire sur un convexe compact se trouvent sur les points extrêmaux \r- Présentation d'un problème de transport optimal & résolution abstraite du problème\r\rLe théorème se déduit du théorème de Milmann, il est bon d'en connaître la preuve. A défault de proposer ce développement, les théorèmes de Krein-Milmann, Birkhoff & Caratheodory se recasent vraiment bien dans les leçons géométriques, sur la dimension finie en analyse, les formes linéaires ect... (Voir le livre d'algèbre linéaire de Patrice Tauvel)