206 - Exemples d’utilisation de la notion de dimension finie en analyse.2026

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
Le développement s'est plutôt bien passé, je suis allé vite au début et ai eu peur de finir trop vite donc j'ai ralenti et n'ai pas pu finir. Au bout de 14 minutes et 30 secondes j'ai posé la craie, annoncé que je n'avais pas le temps de finir à l'écrit et j'ai conclut à l'oral (surtout que le dév rentre dans la leçon grâce aux arguments qui interviennent à la toute fin). Le jury m'a alors fait rectifier un point qui en l'état était faux. Le jury me dis que j'ai montré que si une matrice est hermitienne, alors c'est un polynôme en son exponentielle puis me demande si c'est vrai pour toute matrice de $M_n(\mathcal{C})$. Le jury m'as incité à regarder des matrices diagonales pour trouver un contre-exemple, j'ai fini par trouver la matrice avec sur la diagonale $2i\pi$ et $2i\pi$. Un autre membre du jury me donne un exercice: Soit une équation de plan. Soit une équation d'hyperboloïde. Déterminez les points dans leur intersection de distance extrémale à l'origine. J'ai utilisé les extrema liés, posé ma contrainte, vérifié les hypothèses du théorème en différentiant mes applications etc... J'ai cherché une raison pour que mon application distance à 0 (norme euclidienne au carré) et dis une bêtise quant à la compacité de l'intersection considérée. Après incitation par le jury j'ai cherché les points qui pourraient être des extrémums grâce au théorème des extrema liés. Le jury m'as stoppé peu de temps avant que je finisse les calculs afin que de conclure à l'oral sur ce qu'il restait à faire. J'ai dis que j'allais avoir un nombre fini de points et qu'il faudrait vérifier au cas par cas si ce sont des extrémums ou non. Le jury avais l'air plutôt satisfait et on est passé à la suite. Deuxième exercice: Soit K un compact de $\mathcal{R}^n$. Soit f de K dans lui-même telle que pour tout x,y de K, la norme de f(x)-f(y) est >= à la norme de x-y. Montrez que f est bijective. L'injectivité est facile, la surjectivité j'ai ramé longtemps. Le jury m'as fait poser une suite défini par récurrence pour voir si j'avais une idée... J'ai extrait une sous-suite mais ne savais pas qu'en faire et l'oral s'est arrêté.

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Le jury a été très bienveillant et m'as accompagné sur les exercices, bien que celle qui m'avais posé l'exercice d'extrema liés me laissait beaucoup patauger. J'avais peur que cela soit signe d'un oral moyen, mais la note finale m'as rassuré.

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.
Ma plus grande surprise était sur l'entretien avec le jury. Celui-ci aimait beaucoup poser des exercices longs, j'ai eu aucune questions sur le plan. À l'extrême opposé de mon jury d'algèbre de la veille qui n'a posé que des questions sur le plan du style '' vous pouvez montrer le point ..'', ce à quoi je m'attendais. Au final, je pensais avoir une note bien moindre car j'avais pataugé sur le premier exo et pas réussi le deuxième, mais faire une bonne leçon, bien la présenter, réussir (ou presque) son dév semble être déjà un bon début. Après il faut rien lâcher et montrer au jury qu'on réfléchis et donner ses pistes.