Géodésiques du demi plan de Poincarré

Soit $H = \{ z \in \mathbb{C} : Im(z) > 0 \}$. Soient $A,B \in H$ on pose $V = \{ v \in C^1 ( [0,1], H) , v(0) = A, v(1) = B \}$. Pour tout $v \in V$, on pose \r\r$$ E(v) = \frac{1}{2} \int_0^1 \frac{v_1'(s)^2 + v_2'(s)^2}{ v_2(s)^2} ds $$\r\rSoit $v$ minimisant $E$. Alors $Im(v)$ est incluse soit dans une demi-droite verticale soit dans un demi-cercle centré sur l'axe des abscisses.\r