Utilisateur : Matoumatheux

La preuve du FGN est un peu différente de la mienne mais je pense qu'on voit mieux ce qu'on fait. J'espère que ça vous convaincra !

Le livre de Testard donne ce résultat en exercices, dans une rubrique consacrée aux calculs de variations et aux équations d'Euler-Lagrange. Si vous voulez plus de détails, vous pourrez trouver un très bon article à cette adresse : http://arxiv.org/pdf/1001.2181v2.pdf Enjoy ! Crash-testé en oral blanc : le jury trouvait que je ne l'ai pas assez bien motivé dans ma leçon (convexité en analyse) j'ai donc modifié le document afin que cela soit plus clair qu'il rentre dans les leçons d'extrema et de convexité.

C'est un développement \"maison\" et je n'ai malheureusement pas de références à vous proposer, en dehors du poly de Karine Beauchard ou d'un poly appelé \"Wiener78.pdf\" que vous pourrez trouver sur internet désolé ;-; EDIT : J'ai amélioré les arguments afin d'éviter les lourdeurs et les confusions. J'ai également retiré le fait que $W$ était dense dans $\mathcal{C}^0_{2\pi}(\mathbb{R},\mathbb{C})$ étant donné que c'est immédiat : les polynômes trigo sont dedans donc c'est déjà plié par le théorème de Féjèr.

ATTENTION !! Ce développement est oméga trop long !! Je conseille de ne traîter que le cas strictement positif si vous voulez embrayer sur les chaînes de Markov ! Pour la leçon 153, faites comme vous le sentez : ou bien vous parlez des chaînes de Markov pour illustrer que vous pouvez approcher un vecteur propre associé à la valeur propre $1$ de $P^T$ en mode \"méthode de la puissance\", ou bien vous faites la totale sans parler de chaînes de Markov.

Une version sympa trouvée dans le Gourdon et sur Mathstackexchange pour la partie sur les points fixes. Développement très fun ! Édit : j'ai rajouté un théorème limite central sur le nombre de cycles, un résultat que j'ai trouvé dans le Garet, Kurtzmann et que j'ai montré à la main plutôt qu'avec le théorème limite central de Lindeberg, à noter pour la leçon 262 !

Un développement plutôt orienté option B mais il est vraiment bien et ça change un peu des développements classiques sur les méthodes itératives ! Crash-testé en oral blanc : ça s'est très bien passé ! Attention à bien rappeler les notations pour ne pas perdre le jury.

Un développement pas si dur, que j'avais déjà croisé en deuxième année de prépa. Le fait qu'on puisse déduire la continuité des valeurs propres ainsi est selon moi très intéressant !

La partie sur les corps finis n'est pas dans le Gozard mais se retrouve facilement, à vous de voir. Si vous êtes calés en théorie de Galois, vous pourrez plutôt prouver la formule générale que j'ai mise en remarque. Pour la leçon 127, mieux vaut utiliser la norme pour caractériser les inversibles des anneaux d'entiers des corps de nombres !

Je remets l'énoncé puisqu'il a visiblement disparu. Soit $E$ un sous-espace vectoriel de $\mathcal{C}^0(\mathbb{R},\mathbb{C})$ de dimension finie notée $n$ et stable par les opérateurs translation, définis pour $a \in \mathbb{R}$ par : $$ \begin{array}{ccrcl} \tau_a & : & \mathcal{C}^0(\mathbb{R},\mathbb{C}) & \longrightarrow & \mathcal{C}^0(\mathbb{R},\mathbb{C}) \\ & & f & \longmapsto & \tau_af : x \mapsto f(x-a). \end{array} $$ Alors $E$ est l'ensemble des solutions d'une équation différentielle linéaire à coefficients constants d'ordre $n$, c'est-à-dire que $E$ est un sous-espace vectoriel de $\mathcal{C}^{\infty}(\mathbb{R},\mathbb{C})$ et qu'il existe un polynôme $P \in \mathbb{C}[X]$ unitaire et de degré $n$ tel que : $$ E = \ker \left(P(D)\ ight) $$ où $D$ est l'opérateur de dérivation : $$ \begin{array}{ccrcl} D & : & \mathcal{C}^{\infty}(\mathbb{R},\mathbb{C}) & \longrightarrow & \mathcal{C}^{\infty}(\mathbb{R}, \mathbb{C}) \\ & & f & \longmapsto & f'. \end{array} $$ Il y a même équivalence mais le sens réciproque est facile à remontrer. J'ai rajouté quelques compléments sur la dualité et où est-ce qu'il faut faire attention en dimension infinie.

Un résultat ultra pointu que l'on prouve de manière quasi-élémentaire (avec Hahn-Banach géométrique quand-même c'est pas non plus un théorème pour les enfants) et je trouve ça satisfaisant !

La version du El Amrani me plaît davantage, j'ai rajouté également des remarques concernant ce que dit le rapport du jury sur ce théorème et sur le sous-échantillonnage, comme Mickael (j'ai détaillé un peu plus cela dit). Préparez-vous à user et abuser d'inversion de Fourier et de formules de Plancherel !

L'application est, je trouve, très sympa. J'ai mis un complément sur les produits scalaires invariants et l'équivalence entre l'existence d'un produit scalaire invariant et le fait d'être conjugué à un sous-groupe de $\mathrm{O}_n(\mathbb{R})$

Ma version utilise le théorème spectral via la décomposition polaire pour montrer que deux matrices réelles unitairement semblables sont orthogonalement semblables. Je préfère faire ainsi, on passe du cas particulier (théorème spectral) au cas général : la réduction des normaux. J'ai rajouté un complément sur les opérateurs auto-adjoints compacts en dimension infinie.

Ma version se fait par récurrence, plutôt que par l'algorithme présenté dans Objectif Agrégation, mais c'est la même preuve.

J'ai l'impression que dire que $P$ s'écrit comme le produit des $\mathrm{pgcd}(P,V-\alpha)$ est un peu superflu, exhiber un facteur non-trivial suffit pour enclencher la récurrence et donc ça peut vous faire gagner du temps. Sinon très bonne version dans Objectif Agrégation, comparé à la version du Demazure qui est imbitable (pour moi)

J'aime ce développement, la version générale du PGCD, combinée à l'application présentée dans le Bernis-Bernis et vous voilà avec un développement très solide.

J'ai rajouté le théorème de la représentation conforme, qui peut se faire si on passe quelques arguments (qu'il faut savoir remontrer tout de même !). C'est costaud mais ça marche bien. EDIT : j'ai rajouté un complément sur le théorème d'inversion globale holomorphe

Bon pourquoi pas. Ça peut se recaser dans la leçon polynômes d'endomorphisme également.

Un résultat rigolo, qui correspond au passage au quotient par $(P)$ de la forme quadratique : $$ \begin{array}{rcl} \mathbb{C}[X] & \longrightarrow & \mathbb{C} \\ Q & \longmapsto & \displaystyle \sum_{i = 1}^{t}m_iQ(\alpha_i)^2 \end{array} $$ où on a noté $\alpha_1,\ldots,\alpha_t$ les racines complexes distinctes de $P$ et $m_1,\ldots,m_t$ les multiplicités des racines de $P$.

Développement très technique, qu'il faut bien digérer pour pouvoir le sortir en 15 minutes. Cependant, c'est joli les groupes de Lie et s'utilisent à la fois dans des branches de l'algèbre et des branches de l'analyse !

Je trouve satisfaisant le fait qu'une méthode d'analyste serve pour un résultat d'algèbre très connu !

Une application du théorème de Baire qui se recase dans la leçon sur les séries entières, ça fait le taf.

Le Perrin dit que \"c'est facile le dénombrement du centralisateur\" il ment ! Il faut bien le détailler si on veut pas se perdre ! Sinon, si vous savez comment on construit un automorphisme de $\mathfrak{S}_6$ qui ne soit pas intérieur, vous aurez tout gagné pour ce développement !

Un développement pas très dur, qui utilise toute l'artillerie des actions de groupes et qui est ô combien important dans la classification des groupes finis, ne vous en privez pas !

Le lemme du FGN paraît bizarre, les versions de Caldero sont quand-même bien mieux. Peut-être que ce développement est un peu court tout seul, n'hésitez pas à détailler beaucoup !

Approuvé par Caldero et Germoni, j'ai des doutes sur le recasage dans la leçon 101, car on n'utilise qu'une seule petite action dans la version sans le lemme de Fitting.

Attention à la version du Candelpergher qui ne justifie pas toutes les étapes, notamment de l'unicité, étant donné qu'il pose, comme fonction E, l'intégrale du carré d'une fonction a priori complexe !! Pour le cas général ($f$ seulement supposée continue), je me suis référé au Zuily-Queffélec, qui explique vite fait pourquoi le noyau de la chaleur est une approximation de l'unité.

Un développement un peu court si on ne rajoute pas la preuve du fait qu'en tout point de la frontière existe un hyperplan d'appui. Un développement qui remplacera très bien les développements orientés barycentre dans la leçon 181, étant donné que le terme barycentre n'est plus explicitement indiqué dans le titre de la leçon !

La version Stein-Shakarchi est vraiment clean ! Faites un beau dessin pour le contour et ayez en tête comment on prolonge $\Gamma$ sur $\mathbb{C}\setminus(-\mathbb{N})$ et vous serez armé !

Utiliser l'inversion locale et les techniques de groupes topologiques c'est plutôt stylé ! Et en plus ça rentre dans connexité, que demander de plus ? ERRATUM : Dans ma première version jointe ici, j'ai écrit une ÉNORME bêtise : $\mathbb{C}[A]^{\times}$ est connexe par arcs, mais pas parce que c'est l'intersection de deux connexes par arcs !! On montre en fait qu'il est connexe par arcs de la même manière que $\mathrm{GL}_n(\mathbb{C})$ grâce au fait que $\mathbb{C}[A]^{\times} = \mathbb{C}[A] \cap \mathrm{GL}_n(\mathbb{C})$.

Je trouve la version du Candelpergher plus simple que celle de Queffélec-Zuily, même s'il y a quelques erreurs et approximations dans le Candelpergher. Développement calculatoire mais très satisfaisant je trouve !

La théorie du contrôle, ça peut faire peur, mais ce n'est au final pas si compliqué (quand c'est linéaire et en dimension finie mdr) ! On n'utilise dans ce développement que des outils de base d'algèbre linéaire, la formule de Duhamel, et le fait que si une fonction analytique a toutes ses dérivées nulles en un point, alors elle est nulle partout ! Travailler ce développement peut être un vrai plus, si vous avez un peu de recul derrière.

Vous pourrez trouver une version dans le El Amrani, mais je me suis plutôt basé sur la version de Berliat, en détaillant peut-être un peu plus certains arguments. Développement très solide à recaser dans les leçons transformation de Fourier mais aussi approximation par des fonctions régulières !! Je le conseille à tous.tes celleux qui sont à l'aise en régularisation par convolution etc !

Un développement très simple mais qui relie plein de domaines des mathématiques : produit infini, nombre premiers et fonction $\zeta$ (théorie analytique des nombres) et probabilités discrètes ! On peut rajouter si le temps le permet un résultat similaire sur les séries $L$ de Dirichlet, utilisées pour prouver le théorème de la progression arithmétique ! J'ai mis quelques remarques dessus.

La version de Gourdon peut paraître déroutante car elle est faite comme un exercice de prépa. L'ordre des étapes, notamment, n'est pas forcément naturel. Je vous conseille donc de bien vous approprier la démonstration pour remettre les étapes dans l'ordre qui vous semble le plus naturel ! Mettez aussi des dessins pour bien justifier comment on approche l'indicatrice ! Sinon, un développement très solide à recaser dans pas mal de leçons auxquelles on ne s'attend pas forcément ! Je remercie Thomas Cavallazzi pour son application aux séries de Fourier ! PS : Au début de mon pdf, je mets qu'il est légitime de se demander comment \"prolonger\" une fonction sur le disque d'incertitude. Attention, comme le fais remarquer le rapport du jury, le théorème d'Abel angulaire n'est pas un théorème de prolongement, mais un théorème de continuité ! Cependant, il permet de définir un procédé de sommation convenable lorsque la série diverge en $1$.

Ce développement est tiré d'un exemple de texte de modélisation trouvable sur agreg.org (il s'agit du texte 2018-B6). Je suis tombé dessus en oral blanc et je me suis dit que j'allais mener l'analyse de ce schéma numérique. Voilà comment je me suis mis à écrire ce développement ! Update : crash-testé en oral blanc, ça s'est bien passé ! Il me manquait un peu de temps pour prouver les propriétés qualitatives du schéma, sinon c'était bien ! ERRATUM : J'ai écrit une grosse bêtise lors de l'analyse de stabilité du schéma ! Elle est désormais corrigée veuillez m'excuser.

Attention si vous faites l'application du Bernis-Bernis, le Brézis dit qu'en fait en dimension 1 on peut toujours se ramener à l'équation classique de Sturm-Liouville : \[ -(pu')' + qu = f \text{ sur }(0,1), \] qui se résout facilement grâce au Théorème de Riesz ! C'est pourquoi je propose une application en dimension $2$. Mes hypothèses ne sont pas forcément optimales mais ça suffit pour le développement je pense.

Un développement qui rentre à merveille dans les leçons suites et développements asymptotiques, pas vraiment calculatoire et qui utilise plein de résultats classiques qui, si vous êtes calés sur leur démonstration, peuvent vous rapporter des points auprès du jury ! Je recommande fortement ! J'ai rajouté dans le pdf l'ordre moyen pour la fonction nombre de diviseurs : \[ \begin{array}{ccrcl} \tau & : & \mathbb{N}^* & \longrightarrow & \mathbb{N} \\ & & n & \longmapsto & \displaystyle \sum_{d \text{ }|\text{ }n}1 \end{array} \]

Un développement qui utilise toute l'artillerie des espaces de Hilbert, qui utilise un nombre incalculable de fois l'égalité de Bessel et qui fera des merveilles dans les leçons 205, 208 et 213 ! Il y a de la matière dans ce développement, alors démontrez ce que vous maîtrisez le mieux ! Comme dit au début de ce développement, n'oubliez pas de donner des exemples d'opérateurs de Hilbert-Schmidt et d'opérateurs qui sont continus, mais pas de Hilbert-Schmidt, voire des exemples d'opérateurs compacts qui ne sont pas de Hilbert-Schmidt ! Un exemple est le suivant : si $(a_n)_{n \in \mathbb{N}} \in c_0(\mathbb{N}) \setminus \ell^2(\mathbb{N})$, alors l'opérateur : \[ T : (u_n)_{n \in \mathbb{N}} \in \ell^2(\mathbb{N}) \longmapsto (a_nu_n)_{n \in \mathbb{N}} \in \ell^2(\mathbb{N}) \] est compact, mais pas de Hilbert-Schmidt !

Le résultat est en soi remarquable ! Pour l'anecdote, on ne sait toujours pas s'il y a d'autres nombres de Fermat (de la forme $1+2^{2^{\beta}}$) que $3$, $5$, $17$ et $65.537$ qui sont premiers ! Soyez prêts à répondre aux questions sur les polynômes cyclotomiques, sur le fait que les nombres constructibles forment un corps stable par racine carrée, et sur les corps de rupture pour ce développement ! Sinon, connaître un peu de théorie de Galois permet d'avoir du recul sur la preuve de la constructibilité de $e^{\frac{2i\pi}{p}}$ lorsque $p$ est premier de Fermat.

Attention à comment vous rédigez la construction des intervalles de confiance asymptotiques ! En effet, on divise par une variable aléatoire qui s'annule avec probabilité non-nulle pour tout $n$ (bien qu'elle tende vers $0$) ! Sinon, le résultat est vraiment central et mérite un développement, même s'il n'est pas forcément compliqué à montrer grâce au théorème de Lévy (qui, lui, est plus dur à montrer). Ne vous privez pas de l'utilisation du logarithme complexe ! C'est au programme et ça simplifie quand même beaucoup la preuve ! PS : J'ai mis qu'on prouve une version faible du théorème de Lévy. C'est bien le cas ! Le théorème de Lévy le plus général dit que si la suite des fonctions caractéristiques $\varphi_{X_n}$ converge simplement vers une fonction $\varphi$ bornée telle que $\varphi(0) = 1$ et qui est continue en $0$, alors il existe une variable aléatoire $X$ définie sur le même espace de probabilité que les variables $X_n$ telle que $X_n$ converge en loi vers $X$ ! Cela utilise le théorème de Prokhorov, donc c'est dur !

Une belle utilisation des déterminants pour prouver un résultat de densité dans les fonctions continues à la Weierstrass ! Les calculs sont pénibles et pas vraiment détaillés dans le Gourdon alors soyez solides sur vos appuis, j'ai tout détaillé dans le pdf pour pallier à ça !

En rédigeant ce développement, je me suis rendu compte qu'on utilisait plein de fois le théorème chinois. Ainsi, j'ai rajouté dans mon pdf plein de résultats importants qui utilisent le théorème chinois, comme les conditions sur $n$ pour assurer la cyclicité de $\displaystyle \left(\frac{\mathbb{Z}}{n\mathbb{Z}}\ ight)^{\times}$ ou le critère de Korselt pour les nombres de Carmichaël. Cela peut égayer ce développement qui peut paraître morose au premier abord. Enjoy !

Je ne sais pas qui a mis ce développement sur agreg-maths mais en tous cas je suis triste qu'il n'ait ni références ni pdf, alors j'ai cherché et trouvé des références, et rédigé un pdf. Ce résultat est très joli (et pas forcément très dur ! C'est juste un théorème spectral appliqué à $A^*A$ !) et conviendra très bien aux habitué.e.s d'algèbre linéaire numérique. J'ai également rajouté le théorème d'Eckart-Young, qui dit la chose suivante : si $A \in \mathcal{M}_{m,n}(\mathbb{K})$ a pour SVD $U\Sigma V^*$, alors en notant, pour $k \in[\![1,\mathrm{rg}(A)]\!]$, $A_k := U\Sigma_k V^*$, où $\Sigma_k$ correspond à la matrice $\Sigma$, où on a remplacé les valeurs singulières $\sigma_{k+1},\ldots,\sigma_{\mathrm{rg(A)}}$ par $0$, alors $A_k$ vérifie : \[ \vert\!\vert\!\vert A - A_k \vert\!\vert\!\vert_2 = \min_{\substack{B \in \mathcal{M}_{m,n}(\mathbb{K}) \\ \mathrm{rg}(B) = k}}\vert\!\vert\!\vert A - B \vert\!\vert\!\vert_2, \] où $\vert\!\vert\!\vert \cdot \vert\!\vert\!\vert_2$ désigne la norme subordonnée aux normes euclidiennes au départ et à l'arrivée. Ce résultat est (était ?) très utilisé pour la compression de données ! Garder les plus grandes valeurs principales revient à garder les \"directions de plus grandes tendances\" dans la matrice : on enlève de l'information que l'on peut juger superflue.

Dans ma version, j'ai le temps de montrer le théorème de Montel juste avant, quitte à aller plus vite sur le théorème de la représentation conforme (par exemple, sauter la partie 1 ou ne pas détailler le théorème de Hurwitz). À adapter selon la leçon (montrer le théorème de Montel n'a pas de sens dans la leçon connexité) !

J'ai préparé ce plan en janvier, juste avant mes premiers oraux blancs et je suis tombé dessus le jour J (vous pourrez retrouver mon retour d'oral sur ce site). Vous verrez que mon plan ici est un peu différent de celui que j'ai adopté (j'ai pu notamment rajouter une partie combinatoire sur les corps finis le jour J) mais le contenu est globalement similaire. J'avais un peu raccourci le début pour mon oral notamment. D'ailleurs si vous voulez rajouter une application au fait que tout sous-groupe compact de $\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$ admette un produit scalaire invariant, vous pouvez mettre que si $(E, \Vert \cdot \Vert)$ est un $\mathbb{R}$-evn de dimension finie tel que le groupe $\mathrm{O}(E) := \{u \in \mathrm{GL}(E) \text{ }| \text{ }\forall x \in E, \quad \Vert u(x) \Vert = \Vert x \Vert\}$ agit transitivement sur la sphère unité de E pour la norme ambiante, alors cette norme est euclidienne !

Plan préparé en binôme pendant mon année de préparation à l'agreg. Plan plutôt complet, il manque de l'exponentielle de matrices je pense (si j'étais tombé sur cette leçon à l'oral, j'aurais choisi de mettre l'image de l'exponentielle sur R et C en développement).

J'ai préparé cette leçon comme un vrai oral et j'ai été interrogé par deux de mes camarades. Je voulais mettre les exercices de Carnet de voyage en Algébrie, mais j'ai un peu oublié... il y a tellement de choses à mettre dans cette leçon aussi... bref j'espère que ça vous sera utile !

Plan préparé en binôme pendant l'année de préparation à l'agreg. L'ordre est peut-être à améliorer, et les titres de partie aussi, mais je trouve ce plan plutôt complet ! J'espère que cela vous sera utile.

Un plan sur lequel je suis tombé pour mon troisième oral blanc. Ce plan est très dur, surtout la partie topologie faible ! Faire de la topologie faible dans des Hilbert est largement suffisant. Il y a également quelques coquilles dans mon plan (notamment sur le théorème de Kakutani qui est une équivalence, sans l'équivalence c'est juste le théorème de Banach-Alaoglu), et j'aurais peut-être dû mettre mon développement sur la courbe brachistochrone dans la partie optimisation en dimension infinie. En tous cas ce plan contient normalement tout ce qu'il faut, j'espère que ça vous sera utile.