262 - Convergences d’une suite de variables aléatoires. Théorèmes limite. Exemples et applications.2026

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
D'abord des questions portant sur le plan (visiblement posées par quelqu'un qui l'avait mal lu, car les réponses étaient dedans), puis des exercices. Pourquoi la famille $n\mathbb{1}_{[0,1/n]}$, que j'avais mise comme exemple, n'est-elle pas uniformément intégrable ? Justifier l'inégalité de Hoeffding comme développement dans cette leçon (comme si je ne l'avais pas fait dans ma défense du plan !) et donner une autre inégalité du même genre, mois fine (comme si la loi des grands nombres $L^2$ ne se trouvait pas dans mon plan juste avant Hoeffding !). Comment montrer la formule de Stirling avec le théorème central limite ? (j'avais mis la propriété dans mon plan). Condition nécessaire et suffisante pour que $\sum_{k=1}^n X_k$ converge en loi, où les $X_k$ sont indépendantes et $X_k$ a la loi $\mathcal{N}(0,\sigma^2)$. Montrer que si les $X_k$ sont iid de loi de Cauchy, $\frac{X_1+\cdots+X_n}{n}$ converge en loi mais pas presque-sûrement (pour cette dernière propriété, j'ai parlé de tribu asymptotique et ils m'ont demandé le lemmme de Borel-Cantelli). J'ai reçu des indications. Si les $X_n$ sont indépendantes avec $X_n$ de loi $Ber(1/n)$, les $X_n$ convergent en probabilité, mais pas presque-sûrement. Si les $\epsilon_n$ sont iid avec $\mathbb{P}(\epsilon_n=1) = \mathbb{P}(\epsilon_n=-1)=1/2$ et $(a_n)_n$ est une suite de réels, donner une CNS pour que $\sum_{k=1}^n\epsilon_k a_k$ converge dans $L^2$, puis montrer que cette condition est aussi une condition de convergence dans $L^4$.

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
D'abord des exos, puis des questions sur mon plan, qui ont entraîné d'autres exos. Quelques petites questions sur mon développement (pourquoi cette démonstration de la loi des GN nécessite de se placer dans $L^4$ ? donner l'énoncé du lemme de Borel-Cantelli). Puis un exo portant sur la démonstration de la loi forte des GN dans le cas $L^2$, en me donnant une piste de départ sur l'étude de la sous-suite $(S_{n^2})$ de la moyenne empirique $S_n$. Puis des questions sur le plan, notamment sur la démonstration du théorème de Lévy. J'ai donné les grandes lignes d'une démonstration passant par des sous-ensembles dont l'adhérence contient les fonctions continues à support compact, puis on a fait la démonstration dans le cas de la dimension 1 en passant par les distributions.

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Un membre du jury avait déjà sévi dans l'épisode \"Pierre P et les espaces $L^p$\". Il a récidivé en soufflant dès que j'ai dit que je prenais la leçon de proba. Ensuite, durant les exos, qu'il menait pour la plupart, il n'a pas arrêté de dire que son exo permettait de faire des maths (sous-entendu plutôt que des probas). Il est allé jusqu'à demander à son acolyte s'il l'autorisait à me poser une question portant sur une démonstration du thm de Lévy par les distributions tempérées. Il m'a ensuite demandé mon approbation : \"Connaissez-vous les distributions tempérées ?\". Lorsque j'ai répondu oui, il a ensuite été très souriant et content de pouvoir faire des maths.

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.
Surpris d'avoir eu à faire un exo reposant essentiellement sur la transformée de Fourier dans $S'(\mathbb R)$, mais plutôt content de l'avoir eu car les distributions faisaient partie de mes leçons préférées.