Théorème central limite

Recasages: 218, 224, 261, 262, 266 Résultat qui se fait bien en 15 minutes. On peut éventuellement insister plus sur le développement de la fonction carcatéristique dans la leçon sur les formules de Taylor.'

Développement très sympathique, qui se comprend et se retient facilement, et qui se présente dans de nombreuses leçons. De plus, le théorème central limite figure sur le programme du concours. En revanche, ce développement est un peu court. Il faudrait peut-être ajouter une application. Je vous laisse y réfléchir (désolé, je n'aime pas les probabilités).'

Recasages: 261, 262, 266 Page 207 Je n'utilise pas le logarithme complexe, ni le petit lemme qu'il est coutume d'ajouter. Je m'en sors avec un petit tour de passe-passe. Mon site: https://esuong-maths.fr'

Pour les leçons : 218, 250, 261, 262, 266.'

*Mes développements n’ont pas été pensés pour être partagés au départ, vous excuserez mon écriture et mes notations un peu brouillonnes. Soyez vigilants sur les coquilles/erreurs possibles et critiques sur ce que vous lisez. N’hésitez pas à me contacter pour des clarifications. *La plupart de mes dévs contiennent un plan et un rappel des énoncés, pour être au clair sur ce qu’on a à disposition et ce qu’on veut faire. *Les recasages inscrits sur le document sont les numéros de 2023/2024. Ce développement est à tiroirs et je démontre le lien entre fonction caractéristique et moments ou donne une application du TCL selon la leçon. Recasages : 218 - 261 - 262 - 266'

La preuve du théorème en lui-même est un peu courte. À mon avis : soit on lui adjoint la preuve du théorème de Lévy (ce que j'ai fait), soit on trouve une application. Les références sont indiquées à la fin du plan. N'hésitez pas à me contacter pour me signaler toute erreur ou imprécision.'

Attention à comment vous rédigez la construction des intervalles de confiance asymptotiques ! En effet, on divise par une variable aléatoire qui s'annule avec probabilité non-nulle pour tout $n$ (bien qu'elle tende vers $0$) ! Sinon, le résultat est vraiment central et mérite un développement, même s'il n'est pas forcément compliqué à montrer grâce au théorème de Lévy (qui, lui, est plus dur à montrer). Ne vous privez pas de l'utilisation du logarithme complexe ! C'est au programme et ça simplifie quand même beaucoup la preuve ! PS : J'ai mis qu'on prouve une version faible du théorème de Lévy. C'est bien le cas ! Le théorème de Lévy le plus général dit que si la suite des fonctions caractéristiques $\varphi_{X_n}$ converge simplement vers une fonction $\varphi$ bornée telle que $\varphi(0) = 1$ et qui est continue en $0$, alors il existe une variable aléatoire $X$ définie sur le même espace de probabilité que les variables $X_n$ telle que $X_n$ converge en loi vers $X$ ! Cela utilise le théorème de Prokhorov, donc c'est dur !'

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Leçons 239, 241, 261, 262, 264, 266. Version avec une application.'

Version avec une application à la détermination d'intervalles de confiance'

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Possibilité d'ajouter une des deux applications suivantes : Application 1 : Soit $p\in\, ]0,1[$. Soit $(Y_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$ une suite de variables aléatoires réelles telle que pour tout $n\in\mathbb{N}^*$, $Y_n$ suive la loi binomiale $\mathcal{B}(n,p)$. Alors on a : $$ \frac{Y_n-np}{\sqrt{np(1-p)}} \xrightarrow[n\to +\infty]{\mathcal{L}} \mathcal{N}(0,1).$$ Application 2 : Soit $n\in \mathbb{N}^*$. On étudie le modèle statistique $\left( \{0,1\}^n, \{\mathcal{B}(1,p)\}_{p\in\, ]0,1[}\right)$. Soit $X_n,\ldots,X_n$, un $n$-échantillon de loi de Bernoulli $\mathcal{B}(1,p)$, $p\in\,]0,1[$. Pour $\alpha\in\, ]0,1[$, déterminons un intervalle au niveau de confiance asymptotique $1-\alpha$ du paramètre d'intérêt $p$. Référence (également valable pour le TCL) : Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, J. et L. Bernis, Ellipses '

avec le théorème des évènements rares de Poisson'

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