Convergence en loi de variables aléatoires discrètes
Théorème :
Si $X$ et $(X_n)_{n \in \mathbb{N}}$ sont réelles et à valeurs dans un même ensemble dénombrable $A = \{x_k ; k \in K\}$ discret (dont tous les points sont isolés), alors $X_n \stackrel{Loi}{\longrightarrow} X$ si et seulement si pour tout $k\in K$, $\mathbb{P}(\{X_n = x_k\} ) \longrightarrow_{n \to \infty} \mathbb{P}(\{X = x_k\})$.
Application :
Soit $X_n$ des variables aléatoires de loi binomiale de paramètres $n$ et $p_n$ tels que $np_n \longrightarrow_{n \to \infty} \lambda$. Alors $X_n$ converge en loi vers la loi de Poisson de paramètre $\lambda$.
| Qualité | Numéro | Titre |
|---|---|---|
| 5 | 262 | Convergences d’une suite de variables aléatoires. Théorèmes limite. Exemples et applications.2026 |
| 5 | 264 | Variables aléatoires discrètes. Exemples et applications.2026 |
| 4 | 261 | Loi d’une variable aléatoire : caractérisations, exemples, applications. 2026 |
Utilisateur : EWna
Recasages: 261, 262, 264
Page 59 (sauf un point)
Le Chabanol-Ruch le fait pour des variables à valeur dans $\mathbb{Z}$, je l'ai écrit pour le cas discret quelconque. Finalement, je pense qu'il vaut mieux l'écrire dans le cas de $\mathbb{Z}$ car c'est, disons, plus visuel, et les $\varepsilon$ sont plus facile à choisir; et surtout, modulo une numérotation, c'est exactement la même chose...
Mon site: https://esuong-maths.fr'
Références :
Probabilités et statistiques pour l'épreuvre de modélisation à l'agrégation de mathématiques - Chabanol, Ruch
Utilisateur : Julos
Je trouve le dev assez long, ducoup si j'étais trop lent je ne faisais pas l'application à la fin.'
Références :
Utilisateur : Marstelle
*Mes développements n’ont pas été pensés pour être partagés au départ, vous excuserez mon écriture et mes notations un peu brouillonnes. Soyez vigilants sur les coquilles/erreurs possibles et critiques sur ce que vous lisez. N’hésitez pas à me contacter pour des clarifications.
*La plupart de mes dévs contiennent un plan et un rappel des énoncés, pour être au clair sur ce qu’on a à disposition et ce qu’on veut faire.
*Les recasages inscrits sur le document sont les numéros de 2023/2024.
Je ne fais pas l'application mais démontre à la place un autre critère sur les fonctions génératrices. Le développement est adapté pour une définition de la convergence en loi avec les espérances et les fonctions continues bornées.'
Références :
Probabilités pour les non-probabilistes - Walter Appel