Théorèmes de Cochran et de Fisher

Théorème de Cochran :\rSoit $X$ un vecteur gaussien d'espérance nulle et de matrice de covariance $\mathrm I_d$. On considère $E_1\oplus\dotsb\oplus E_r$ une décomposition de $\mathbb R^d$ en sous-espaces orthogonaux de dimensions respectives $d_1,\dotsc,d_r$. Alors les projections orthogonales $P_{E_1}(X),\dotsc,P_{E_r}(X)$ sont des vecteurs gaussiens indépendants. De plus, pour tout $j\in\{1,\dotsc,r\}$,\r\[ \lVert P_{E_j}(X) \rVert_2^2 \sim \chi^2(d_j) \]\r\rThéorème de Fisher :\rSoit $\u$ une loi sur $\{1,\dotsc,q\}$ telle que $\u(j)>0$ pour tout $j$, et soit $(X_n)$ une suite i.i.d. de loi $\u$. Notons $N_{n,j}= \displaystyle\sum_{i=1}^n \mathbf{1}_{\{X_i=j\}}$ et $T_n = \displaystyle\sum_{j=1}^q \frac{ \big(N_{n,j} - n\, \u(j)\big)^2 }{n\,\u(j)}$. Alors :\r\[ T_n \xrightarrow[n\to+\infty]{\mathcal{L}} \chi^2(q-1) \]