Marche aléatoire dans Z^d

On considère le modèle suivant. Soit $d $ un entier $\ge 1$ et $(u_i)$ la base canonique de $\mathbb{R}^d$, on pose $S_0 = 0 \in \mathbb{Z}^d$, le $k$-ième pas est défini par $e_k \in \{ \pm u_i : 1 \le i \le d \} = A$ et $P(e_k = u_i ) = P(e_k = -u_i) = 1/2d$ pour tout $i$. Les $e_k$ sont des variables aléatoires iid de sorte que $P(e_1 = \epsilon_1, \ldots , e_k = \epsilon_k) = 1/(2d)^k$. On pose $S_n = \sum_{k=1}^n e_k$ pour $n \ge 1$. Alors si $d \le 2$, $P( S_n = 0 \text{ infiniment souvent} ) = 1$ Si $ d \ge 3$, alors $P( \lim |S_n| = +\infty ) = 1 $