Intégrale de Dirichlet

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Version manuscrite, désolée pour l'écriture . Encore un développement où j'ai admis plusieurs passage par manque de temps. Il se peut qu'il reste des coquilles, n'hésitez pas à me contacter au besoin.

Cette version utilise plein de résultats d'intégration. Testée et approuvée, mais à ne pas découvrir le jour de l'oral. Et tenez vous prêt à expliquer pourquoi l'intégrale n'est que semi-convergente. Les références sont indiquées à la fin du plan. N'hésitez pas à me contacter pour me signaler toute erreur ou imprécision.

Il faut aller vite si on veut bien le présenter. La continuité en $0$ est faite maison, je n'ai pas trouvé ailleurs (dites-moi si vous trouvez !)

C'est tout bien fait dans X ENS analyse 3. Bien savoir montrer que l'intégrale ne converge pas absolument

Si ma version peut aider des gens, avec plaisir ! Référence sur le document. Attention aux éventuels coquilles.

p392

Le sinus cardinal est une fonction spéciale utilisée en physique (cf sa page wikipédia) notamment car c'est la transformée de Fourier de la fonction \"porte\" (cf démo 3). On calcule ici l'intégrale de Dirichlet de 5 manières différentes, permettant de s'adapter à la leçon en question: interversion intégrale-intégrale par Fubini, intégration sur un chemin, transformée de Fourier Plancherel, transformée de Laplace et primitive, ou enfin transformée de Laplace et équation différentielle. Pour les pages : Candelpergher, Calcul intégral : p30, p212 (ce n'est pas indiqué dans l'index mais l'on peut les trouver rapidement en cherchant dans les chapitres intégrales impropres, théorème de Fubini, théorème de Cauchy) Francinou Gianella Oraux X-ENS Analyse 3 p214

Développement relativement classique, assez long mais pas très difficile. On utilise le théorème C^1 sous le signe intégrale, le théorème fondamental de l'analyse (qu'il faut savoir rapidement démontrer) et le théorème de convergence dominée. On peut également, comme le suggère le livre de Julien et Laurent Bernis, démontrer ce résultat de deux manières différentes, mais cela me parait beaucoup trop long pour être présenter en 15 minutes; ce sont néanmoins des techniques à connaitre. NB1 : Il faut se convaincre soi-même de la pertinence d'un recasage et être capable de défendre son choix le jour J devant le jury. Vous pouvez, évidemment, ne pas être d'accord avec moi. NB2 : Il peut y avoir des fautes dans ce que j'écris, faites attention.

Attention, les termes \"intégrale de Dirichlet\" n'apparaissent pas dans l'index.

On peut aboutir à ce résultat par au moins quatre méthodes. Trois d'entre elles (résidus, transformée de Laplace, transformée de Fourier-Plancherel) sont présentées dans la référence : Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, J. et L. Bernis, Ellipses