Calul d'intégrales par équations différentielles

Soit $t\in\mathbb{R}$. Alors: $$ I(t)=\int_0^{+\infty}\frac{e^{-x}}{\sqrt{x}}\cos(xt)dx=\frac{\sqrt{\pi}}{(1+t^2)^{1/4}}\cos(\frac{1}{2}\arctan t) $$ $$ J(t)=\int_0^{+\infty}\frac{e^{-x}}{\sqrt{x}}\sin(xt)dx=\frac{\sqrt{\pi}}{(1+t^2)^{1/4}}\sin(\frac{1}{2}\arctan t) $$ On montre que la fonction $I+iJ$ est solution d'une équation différentielle linéaire d'ordre 1. Réf: Berthelin, exo corrigé 2.52