213 - Espaces de Hilbert. Exemples d’applications.2026

Rapport du jury 2022

L'analyse de Fourier, sur le cercle où la droite réelle, est évidemment une illustration fondamentale des résultats de ce chapitre. Le jury a noté que rares étaient les candidats qui maîtrisaient correctement la théorie $L^2$ des séries de Fourier. Le fait que les polynômes constituent une base hilbertienne de l'espace des fonctions de carré intégrable relativement à certains poids est présenté quasi systématiquement en développement. Peut-être faudrait-il songer à trouver d'autres sources d'inspiration, d'autant que la preuve n'est pas toujours parfaitement comprise, et que de nombreux candidats sont incapables d'en déduire une base hilbertienne de $L^2(R)$. Les candidats solides pourront s'intéresser aux propriétés spectrales des opérateurs autoadjoints compacts d'un espace de Hilbert, à la minimisation de fonctionnelles convexes et coercives sur un espace de Hilbert, ou encore au théorème de Paley-Wiener qui caractérise les fonctions de $L^2(R)$ dont la transformée de Fourier est à support compact, ou encore au théorème d'échantillonnage de Shannon.

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Rapport du jury 2022

Rapport du jury 2019

Il est important de faire la différence entre base algébrique et base hilbertienne, notions qui mettent en difficulté nombre de candidats. Toutefois cette année, le jury se réjouit d’avoir pu constater de réels efforts sur ce point. La formule de la projection orthogonale sur un sous-espace de dimension finie d’un espace de Hilbert doit absolument être connue de même que l’interprétation géométrique de la méthode de Gram-Schmidt. La leçon doit être illustrée par des exemples de bases hilbertiennes (polynômes orthogonaux, séries de Fourier, entre autres). $\\$ Les candidats doivent s’intéresser au sens des formules $$ x = \sum_{n\geq 0} (x|e_n)e_n \text{ et } \|x\|^2 = \sum_{n\geq 0} |(x|e_n)|^2 $$ en précisant les hypothèses sur la famille $(e_n)_{n \in \mathcal{N}}$ et en justifiant la convergence. La notation $\sum_{m \in \mathcal{Z}}$ doit être manipulée avec précaution : beaucoup de candidats l’introduisent mais sans en maîtriser les subtilités. $\\$ Si le théorème de projection sur les convexes fermés (ou sur un sous-espace vectoriel fermé) d’un espace de Hilbert $H$ est régulièrement mentionné, ses conséquences les plus directes (théorème de projection de Riesz, orthogonal de l’orthogonal et densité d’un sous-espace via la nullité de son orthogonal,...) le sont malheureusement nettement moins. La notion d’adjoint d’un opérateur continu peut alors être introduite et, pour aller plus loin, le théorème spectral pour les opérateurs auto-adjoints compacts peut alors être abordé. $\\$ Pour aller plus loin dans une autre direction, le programme permet d’aborder la résolution et l’approximation de problèmes aux limites en dimension 1 par des arguments exploitant la formulation variationnelle de ces équations. La construction de l’espace de Hilbert–Sobolev $H_0^1(]0,1[)$ pourra donc éventuellement être abordée, ainsi que le théorème de Lax-Milgram avec des applications pertinentes. Plus généralement, l’optimisation de fonctionnelles convexes sur les espaces de Hilbert peut être explorée.

Rapport du jury 2017

Il est bon de connaître et savoir justifier le critère de densité des sous-espaces par passage à l’orthogonal. Il faut aussi illustrer la leçon par des exemples de bases hilbertiennes (polynômes orthogonaux, séries de Fourier ,...). Il est important de faire la différence entre base algébrique et base hilbertienne, notions qui mettent en difficulté nombre de candidats. De plus, la formule de la projection orthogonale sur un sous espace de dimension finie d’un espace de Hilbert doit absolument être connue de même que l’interprétation géométrique de la méthode de Gramm-Schmidt. Le théorème de projection sur les convexes fermés (ou sur un sous-espace vectoriel fermé) d’un espace de Hilbert H est régulièrement mentionné. Les candidats doivent s’intéresser au sens des formules \[ x = \sum_{n \ge 0} (x |e_n) e_n \text{ et } ||x||^2 = \sum_{n \ge 0} |(x | e_n)|^2 \] en précisant les hypothèses sur la famille $(e_n)_{n\in N}$ et en justifiant la convergence. La notion d’adjoint d’un opérateur continu peut illustrer agréablement cette leçon. Pour aller plus loin, le programme permet d’aborder la résolution et l’approximation de problèmes aux limites en dimension 1 par des arguments exploitant la formulation variationnelle de ces équations. Plus généralement, l’optimisation de fonctionnelles convexes sur les espaces de Hilbert peut être explorée. Enfin, le théorème spectral pour les opérateurs auto-adjoints compacts peut être abordé.

Rapport du jury 2016

Il est bon de connaître et savoir justifier le critère de densité des sous-espaces par passage à l’orthogonal. Il faut aussi illustrer la leçon par des exemples de bases hilbertiennes (polynômes orthogonaux, séries de Fourier, . . .). Il est important de faire la différence entre base algébrique et base hilbertienne. De plus, la formule de la projection orthogonale sur un sous espace de dimension finie d’un espace de Hilbert doit absolument être connue de même que l’interprétation géométrique de la méthode de Gramm-Schmidt. Le théorème de projection sur les convexes fermés (ou sur un sous-espace vectoriel fermé) d’un espace de Hilbert H est régulièrement mentionné. Les candidats doivent s’intéresser au sens des formules $$ x = \sum_{n \ge 0} (x | e_n) e_n \text{ et } ||x||^2 = \sum_{n \ge 0} | (x|e_n)|^2 $$ en précisant les hypothèses sur la famille $(e_n)_{n\in \mathbb{N}}$ et en justifiant la convergence. La notion d’adjoint d’un opérateur continu peut illustrer agréablement cette leçon. Pour aller plus loin, le programme permet d’aborder la résolution et l’approximation de problèmes aux limites en dimension 1 par des arguments exploitant la formulation variationnelle de ces équations. Plus généralement, l’optimisation de fonctionnelles convexes sur les espaces de Hilbert peut être explorée. Enfin, le difficile théorème spectral pour les opérateurs auto-adjoints compacts peut être abordé.

Rapport du jury 2015

Il est important de faire la différence entre base algébrique et base hilbertienne. De plus, la formule de la projection orthogonale sur un sous espace de dimension finie d'un espace de Hilbert doit absolument être connue de même que l'interprétation géométrique de la méthode de Gramm-Schmidt. Il faut connaître quelques critères simples pour qu'une famille orthogonale forme une base hilbertienne et illustrer la leçon par des exemples de bases hilbertiennes (polynômes orthogonaux, séries de Fourier, ... ). Le théorème de projection sur les convexes fermés (ou sur un sous-espace vectoriel fermé) d'un espace de Hilbert $H$ est régulièrement mentionné. Les candidats doivent s'intéresser au sens des formules $x = \sum_{n\ge 0} (x |e_n) e_n$ et $||x||^2 = \sum_{n \ge 0} (x|e_n)^2$ en précisant les hypothèses sur la famille $(e_n)_{n \in \mathbb{N})$ en justifiant la convergence. La notion d'adjoint d'un opérateur continu peut illustrer agréablement cette leçon. Pour des candidats solides, le programme permet d'aborder la résolution, et l'approximation, de problèmes aux limites en dimension 1 par des arguments exploitant la formulation variationnelle de ces équations. Plus généralement, l'optimisation de fonctionnelles convexes sur les espaces de Hilbert devrait être plus souvent explorée. Enfin, pour les plus valeureux, le théorème spectral pour les opérateurs auto-adjoints compacts peut être abordé.

Rapport du jury 2014

Il est important de faire la différence entre base algébrique et base hilbertienne. De plus, la formule de la projection orthogonale sur un sous espace de dimension finie d'un espace de Hilbert doit absolument être connue. Il faut connaître quelques critères simples pour qu'une famille orthogonale forme une base hilbertienne et illustrer la leçon par des exemples de bases hilbertiennes (polynômes orthogonaux, séries de Fourier, etc.). Le théorème de projection sur les convexes fermés (ou sur un sous-espace vectoriel fermé) d'un espace de Hilbert H est régulièrement mentionné. Les candidats doivent s'intéresser au sens des formules $x = \sum_{n \geq 0} (x|e_n)e_n$ et $||x||^2 = \sum_{n \geq 0} (x|e_n)^2$ en précisant les hypothèses sur la famille $(e_n)$ et en justifiant la convergence. La notion d'adjoint d'un opérateur continu peut illustrer agréablement cette leçon. Pour des candidats solides, le programme permet d'aborder la résolution, et l'approximation, de problèmes aux limites en dimension 1 par des arguments exploitant la formulation variationnelle de ces équations. Plus généralement, l'optimisation de fonctionnelles convexes sur les espaces de Hilbert devrait être plus souvent explorée. Enfin, pour les plus valeureux, le théorème spectral pour les opérateurs autoadjoints compacts peut être abordé.

Développements

5	Décomposition des fonctions de Sobolev
5	Méthode du gradient projeté
5	Espace H1 et problème de Dirichlet
5	Opérateurs de Hilbert-Schmidt, étude et complétude
5	Racine carrée d'un opérateur hermitien positif dans un espace de Hilbert
5	Densité des polynômes orthogonaux et contrexemple
5	Théorème de Banach-Alaoglu
5	Polynômes et fonctions de Hermite
5	Polynômes orthogonaux
5	Théorème de projection sur un convexe fermé
5	L'espace l² est un espace de Hilbert
5	Une somme directe de sev fermés de L²(R), dense et non fermée dans L²(R)
5	Spectre d'un opérateur autoadjoint
5	H1 est un Hilbert
5	Théorème de représentation de Riesz + existence de l'adjoint d'un opérateur
5	Inégalité de Bessel
5	Égalité de Parseval et application au calcul de zêta(2) et zêta(4)
5	Optimisation dans un Hilbert
5	Injection compacte dans les espaces de Sobolev
5	Théorème ergodique de Von Neumann
5	Théorème de Lax-Milgram et une application
5	Échantillonage de Shannon
5	Espace de Bergman du disque unité
5	Projection sur un convexe fermé
5	Dual de Lp
5	Résolution d'une EDPE
5	Théorèmes de Riesz et Lax-Milgram
5	Théorème de Calderon
4	Étude d'une norme dans un Hilbert
4	Matrices et déterminants de Gram
4	Diagonalisation des opérateurs symétriques compacts
4	Compacts dans les espaces de Hilbert
4	Une base de L2(0, 1) : les polynômes trigonométriques
4	Théorème de Radon Nikodym
4	Théorème de Stampacchia
4	Une version du théorème de Muntz
4	Densité des polynômes orthogonaux (base hilbertienne)
3	Fermés de L2(R) invariants par translation
3	Problème de Dirichlet sur H^1_0 en dimension d
3	Existence de l'espérance conditionelle
3	Convergence de séries aléatoires et loi forte des grands nombres L2
3	Théorème de Müntz hypothèse allégée
2	Expression des zeta(2k)
1	Théorème spectral en dim infinie
1	Polynômes de Hermite

Plans

Rajouter une version

Utilisateur : C. Bergeron

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Leçon classique qui est très facile à niveler et à adapter selon les niveaux de chacun. Pour les plus faibles, n'hésitez pas à faire des rappels sur les espaces préhilbertiens et sur les conséquences (pas trop triviales) d'avoir un produit scalaire. Les plus forts pourront à l'inverse complètement sauté cette partie. Il faut à mon sens avoir des applications diverses du théorème de projection, comme l'espérance conditionnelle, la minimisation d'intégrale, la méthode des moindres carrés, ... (voir ma leçon 253 pour des applications que je n'ai pas mis dans mon Latex mais qui devraient apparaitre). Si vous êtes à l'aise, les opérateurs compacts fournissent un bon élargissement du plan. La convergence faible, surtout avec Banach-Alaoglu comme développement, peut être une bonne idée. Mes devs : Espaces de Bergman, Norme de l'opérateur de Volterra Mes plans sont généralement assez détaillés, mais il se peut que je n'aie pas mis tous les items, il faudra donc parfois compléter. Aussi, mes plan sont souvent très (trop) long, et sont faits pour quelqu'un qui écrit petit et rapidement, ce n'est donc pas très représentatif d'un plan fait le jour J par d'autres candidats, qui comportera en général moins d'items.'

Références :

Analyse de Fourier dans les espaces fonctionnels - Niveau M1

De l'Analyse fonctionnelle à la Théorie spectrale

Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, 2de édition

Introduction à l'analyse numérique matricielle et à l'optimisation\r

Cours d'analyse fonctionnelle

Utilisateur : Xx_MasterPoulet13_xX

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Plan réalisé à l'aide du site et des plans présentés dans ma classe. Certaines parties sont parfois optionnelles et je ne prévoyais de les faire que si j'avais le temps le jour J. '

Références :

Cours d'analyse fonctionnelle

Analyse de Fourier dans les espaces fonctionnels - Niveau M1

Elements d'analyse fonctionnelle cours et exercises avec réponses

Utilisateur : Beluga

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Mes plans sont très inspirés de Mr Syndrome( Mercii à lui !!) Désolée pour les fautes s'il y en a. bon courage :) Ps: j'aime pas cette leçon car j'ai du prendre le développement que le jury n'aime pas mais bon j'avais pas mieux...'

Références :

Utilisateur : René Chollet

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C'est le plan que j'ai fait pour mon deuxième oral blanc. Le jury m'a dit qu'il était complet mais qu'il manquait un peu d'exemples. À ce titre, on pourrait rajouter le fait que les polynômes orthogonaux forment une base hilbertienne des L^2 pondérés. Ce qui est bien avec cette leçon c'est que quand on met tout ce qui est absolument nécessaire on a déjà une leçon constitante, il suffit donc presque de suivre linéairement le Li ou le Hirsch-Lacombe. J'ai mis l'horrible El Amrani dans mes références pour le développement sur l'échantillonnage de Shannon qui est soit dit en passant un développement exceptionnel. Si vous avez des questions ou des erreurs à signaler, n'hésitez pas à me contacter par mail !'

Références :

Cours d'analyse fonctionnelle

Analyse de Fourier dans les espaces fonctionnels - Niveau M1

Analyse complexe et applications

Utilisateur : Chazaly

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Références :

Elements d'analyse fonctionnelle cours et exercises avec réponses

Analyse\r

Topologie générale et espaces normés\r

Utilisateur : Lilian&Thomas

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Plan réalisée par Lilian. On est restées dans les notions classiques sur cette leçon. Ce plan n’a pas été vérifié par un professeur, donc gardez un esprit critique, surtout qu’il se peut qu’il y ait des typos. N’hésitez pas à nous contacter si besoin ou à nous signaler s’il y a des erreurs. Bon courage pour cette année.'

Références :

Thèmes pour l'agrégation de mathématiques - Eléments de cours, développements et exercices corrigés

Mathématiques pour l'agrégation externe. Analyse.

Probabilités 2\r

Suites et séries numériques, suites et séries de fonctions

Utilisateur : lemaire

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Méta plan réalisé à l'aide de ce site et des plans réalisés en classe vérifié par un professeur.'

Références :

Analyse\r

Rapport 2018

Mathématiques pour l'agrégation externe. Analyse.

Analyse de Fourier dans les espaces fonctionnels - Niveau M1

Cours d'analyse fonctionnelle

Utilisateur : Naïl

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Références :

Utilisateur : Théo L

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Ce sont les grandes lignes de mon plan, non-vérifié par une personne compétente. Désolé pour l'écriture. Je me suis (beaucoup) inspiré de Tintin et Théo Ternier (J'ai eu l'agreg en partie grâce à eux, merci !).'

Références :

Topologie générale et espaces normés\r

Analyse Complex

Utilisateur : Axel Bonneau

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Il y a pas mal de choses à raconter dans cette leçon. En fonction du niveau auquel on veut se placer, on peut aller très rapidement sur la 1ère partie. Mon 1er dév est la complétude des Lp que j'aurai adapter ici à juste la complétude de L2 et montrer qu'il est muni d'un produit scalaire. Je trouve ça un peu bancal malgré tout. J'utilise le El Amrani et le Li pour la majeure partie du plan, le Gourdon pour quelques calculs avec les séries de Fourier et Objectif agreg pour quelques résultats sur les Hilbert.'

Références :

Analyse Complex

Cours d'analyse fonctionnelle

Analyse\r

Objectif Agrégation

Utilisateur : Mr_Syndrome

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J'aimais beaucoup cette leçon, mon plan est classique mais efficace. Je pense que la partie sur les bases hilbertiennes peut être simplifiée (on peut juste parler de familles dénombrables). J'étais content de la partie sur l'espace $L^2$ car elle permettait bien d'illustrer l'utilité des espaces de Hilbert. Malheureusement, à part le classique \"Projection sur un convexe fermé\" je ne trouvais pas de développement qui me plaise. Si j'étais passé dessus le jour J, j'aurais pris comme autre développement le théorème de représentation de Riesz, l'existence du gradient, et l'existence de l'adjoint. Mais je pense alors que mes deux devs auraient été trop similaires (tous les deux sont calculatoires). Mes plans sont en général inspirés de ceux de Matilde, Hugo, Mathis Lemay, Tintin, RMaurice et Ewna. Merci à elles/eux ! Mes plans sont personnels, ne prenez que ce que vous maitrisez : n'oubliez pas que le jour de l'oral, le jury peut vous interroger sur n'importe quel item de votre plan. N'hésitez pas à me signaler s'il y a des erreurs.'

Références :

Cours d'analyse fonctionnelle

Objectif Agrégation

Elements d'analyse fonctionnelle cours et exercises avec réponses

De l'intégration aux probabilités

Probabilités et statistiques pour l'épreuvre de modélisation à l'agrégation de mathématiques

Analyse de Fourier dans les espaces fonctionnels - Niveau M1

Utilisateur : NicoRoad2Agreg

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Références :

Cours d'analyse fonctionnelle

Analyse Complex

Utilisateur : DaTiCo

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Plans faits pendant l'année à 3. Pas toujours vérifiés ni forcément aboutis. N'étaient pas faits pour être partagés donc il y a des commentaires/remarques personnelles que vous ne comprendrez sûrement pas ! En espérant que le métaplan puisse tout de même aider ! '

Références :

Utilisateur : Jeanclaudedu77

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J'aime pas, mais le Hirsh Lacombe est très bien.'

Références :

Elements d'analyse fonctionnelle cours et exercises avec réponses

Objectif Agrégation

Analyse\r

Utilisateur : kureru

Méta-plan appris pour le jour J. Fait en juin 2024 et non validé par une personne compétente : I. Espaces pré-hilbertiens 1) Def 2) Orthogonalité 3) Espaces de Hilbert (DVT : l² est un hilbert) II. Pptes des Hilberts 1) Projection (DVT : proj cvxe fermé) 2) Dualité et Riesz 3) Bases hilbertiennes III. Exemple de Hilbert : L² 1) L²(I,p) (DVT : polynômes orthogonaux) 2) L²(T) : séries de Fourier'

Références :

Utilisateur : Coquillages & Poincaré

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Retrouvez toutes les leçons et tous les développements, ainsi que des cours (avec les fichiers sources) sur mon site www.coquillagesetpoincare.fr'

Références :

Utilisateur : Théo Ternier

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Voici un plan possible pour la leçon 213. Mes plans sont très souvent inspirés de Ewna et Abarrier (merci à eux deux !)'

Références :

Elements d'analyse fonctionnelle cours et exercises avec réponses

Analyse\r

Objectif Agrégation

Analyse Complex

Oraux X-ENS Analyse 2\r

Utilisateur : Tintin

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Il faut savoir justifier qu'une partie est dense dans un espace de Hilbert en montrant que son orthogonal est réduit à {0}, connaître la différence entre une base algébrique et une base hilbertienne et savoir calculer une distance à l'aide de la projection orthogonale. N'hésitez pas à me contacter si vous constatez ce qui semble être une erreur (typographie, mathématique, etc).'

Références :

Topologie générale et espaces normés\r

Analyse Complex

Utilisateur : Mathis Lemay

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J'adore cette leçon et je suis tombé dessus en oral blanc en décembre en faisant exactement ce plan là. La partie IV n'est vraiment pas obligatoire, c'est juste que j'avais vu ça en M1 et que j'avais bien aimé mais si on en parle, il faut bien le travailler et je ne suis pas sûr que je l'aurais mise le jour J si j'étais tombé dessus. Il faut savoir justifier qu'une partie est dense dans un Hilbert en montrant que son orthogonal est nul, connaître la différence entre une base algébrique et une base hilbertienne, savoir calculer une distance (ou une borne inf d'une quantité en reconnaissant une distance) à l'aide du projeté... Si on parle des polynômes orthogonaux, une question méga-classique qui est systématiquement posée, c'est d'en déduire une base hilbertienne de $L^2(\mathbb{R})$ ! Dans le DEV1, je faisais THM15 et PROP16, si on n'a pas le temps de faire PROP16, il faut quand même savoir la démontrer.'

Références :

Elements d'analyse fonctionnelle cours et exercises avec réponses

Cours d'analyse fonctionnelle

Analyse\r

Objectif Agrégation

Analyse Complex

Utilisateur : TC&WM

Retrouvez tous nos plans de leçons ainsi que les fichiers latex associés à nos leçons sur notre site : https://sites.google.com/view/tribalchiefandwiseman/home?authuser=0 Bonne preparation à vous !'

Références :

Utilisateur : GClerc

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Références :

Elements d'analyse fonctionnelle cours et exercises avec réponses

Analyse fonctionnelle - Théorie et applications

Analyse pour l'agrégation

Espaces de Hilbert et opérateurs

Utilisateur : Hugo

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J'aime bien cette leçon : le plan se mémorise bien et les résultats sont classiques. Les références sont indiquées à la fin du plan. N'hésitez pas à me contacter pour me signaler toute erreur ou imprécision.'

Références :

Utilisateur : ma_tilde

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Je suis restée dans les notions classiques car je n'ai pas le niveau d'explorer des horizons trop compliqués, j'espère que ça vous aidera à avoir une idée de ce qui peut être fait. Mes plans ne sont pas vérifiées donc il faut garder un regard critique sur ces derniers. En les révisant j'ai trouvé beaucoup de coquilles et fautes de frappes, j'ai essayé d'en corriger un maximum mais il est évident qu'il en reste encore, désolée pour cela. Les remarques en rose ne font pas partie du plan, c'était des remarques pour quand je les réviserai. Bon courage pour votre préparation !'

Références :

Mathématiques Tout-en-un pour la Licence 2

Elements d'analyse fonctionnelle cours et exercises avec réponses

Thèmes pour l'agrégation de mathématiques - Eléments de cours, développements et exercices corrigés

Objectif Agrégation

Analyse. Théorie de l'intégration

Analyse Complex

Probabilités

Utilisateur : Brunel

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Mes métaplans ne sont pas vérifiés par une personne compétente, attention donc à la pertinence de ceux-ci. '

Références :

Elements d'analyse fonctionnelle cours et exercises avec réponses

Objectif Agrégation

Analyse Complex

Utilisateur : Bertin Thomas

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Références :

Cours d'analyse fonctionnelle

Objectif Agrégation

Analyse pour l'agrégation

Utilisateur : Demesmay

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Possibilité d'avoir ma version complète manuscrite en me contactant par mail.'

Références :

Utilisateur : Agent B0

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On peut se passer du Gourdon, et aller voir Daniel Li, certains exos sont les mêmes que dans Hirsch mais corrigé.'

Références :

Elements d'analyse fonctionnelle cours et exercises avec réponses

Analyse\r

Objectif Agrégation

Utilisateur : JULIEN L

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Références :

Analyse fonctionnelle - Théorie et applications

Analyse Complex

Analyse\r

Objectif Agrégation

Utilisateur : RMaurice

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Voici mes plans de leçons que j'ai réalisé en format complet. Si cela peut aider des gens, avec plaisir ! Tout mes plans de leçons sont inspirés majoritairement de Jouaucon, Marvin et abarrier ( Merci à eux ! ). Les références sont à la fin. Attention aux éventuels coquilles.'

Références :

Utilisateur : EWna

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Je suis passé sur cette leçon lors de mon oral. J'ai fait un plan globalement identique, j'ai coupé la partie sur les variables aléatoires et raccourci les paragraphes sur les bases hilbertiennes et Fourier périodique au strict minimum (c'est passé tout juste sur les 3 feuilles...)'

Références :

Elements d'analyse fonctionnelle cours et exercises avec réponses

Analyse\r

Analyse Complex

Analyse fonctionnelle

Probabilités et statistiques pour l'épreuvre de modélisation à l'agrégation de mathématiques

Utilisateur : Crépusculaire

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Références :

Analyse\r

Cours d'analyse fonctionnelle

Analyse fonctionnelle - Théorie et applications

Objectif Agrégation

Utilisateur : Pandou

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Références :

Objectif Agrégation

Analyse fonctionelle\r

Analyse\r

Elements d'analyse fonctionnelle cours et exercises avec réponses

Utilisateur : Jouaucon

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Plan très fortement inspiré du plan de M. Cacitti-Holland: http://perso.eleves.ens-rennes.fr/~dcaci409/Agregation.html#lecons Références en fin de plan avec les notations: [Li] Cours d'analyse fonctionnelle : Daniel Li [Isen] L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements : Isenmann [ZQ] Analyse pour l'agrégation : Queffelec, Zuily [OA] Objectif Agrégation : Beck, Malick, Peyré'

Références :

Cours d'analyse fonctionnelle

L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements

Analyse pour l'agrégation

Objectif Agrégation

Utilisateur : Maurer

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Leçon que j'ai préparé au début de l'année, donc la forme est un peu différente de d'habitude. '

Références :

Utilisateur : Aurélie BIGOT

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Références :

Objectif Agrégation

Leçons pour l’agrégation de mathématiques - Préparation à l’oral

Algèbre\r

Utilisateur : Marvin

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Références :

Elements d'analyse fonctionnelle cours et exercises avec réponses

Analyse pour l'agrégation

Objectif Agrégation

Analyse fonctionnelle - Théorie et applications

Utilisateur : F.A.

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Toutes les références sont à la fin du plan. Mes excuses pour l'écriture, et attention aux coquilles... '

Références :

Utilisateur : abarrier

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Références :

Utilisateur : Owen

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Références :

Elements d'analyse fonctionnelle cours et exercises avec réponses

Analyse numérique et optimisation : une introduction à la modélisation mathématique et à la simulation numérique

Oraux X-ENS Algèbre 3\r

Analyse numérique et équation différentielle\r

Objectif Agrégation

Analyse\r

Utilisateur : Alexandre

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Références :

Cours d'analyse fonctionnelle

Analyse\r

Objectif Agrégation

Analyse pour l'agrégation

Utilisateur : Etienne Donier-Meroz

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Références :

Utilisateur : Inèss

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Références :

Utilisateur : Florian Dussap

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Références :

Utilisateur : Agnielli

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Ebauche numérique de plan.'

Références :

Utilisateur : Marie

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Mis à jour le 17.05.17'

Références :

Elements d'analyse fonctionnelle cours et exercises avec réponses

Analyse fonctionnelle - Théorie et applications

Objectif Agrégation

Utilisateur : Promo ENSL 2016

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Références :

Retours

Anonyme | Année : 2024

Leçon choisie : 1596

Autre leçon : Applications différentiables définies sur un ouvert de Rn. Exemples et applications.2026

Développement choisi par le jury : Projection sur un convexe fermé

Autre développement proposé : Pas de réponse fournie.

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
C'était un couplage sur une impasse et une leçon que je trouvais difficile donc je n'ai pas brillée. Concernant les questions suivantes, j'avais parfois des sous-questions mais je ne me rappelle pas très bien de tout donc j'ai mis les questions phares. Questions: Pourquoi y \mapsto d(x,y) est continue à x fixé. Si on prends un sev fermé est ce que le théorème s'applique? Projection dans R^n; sur le disque unité. C'était censé à nous amener un truc mais j'ai rien compris de ce qu'il s'est passé donc je ne saurais retranscrire. Donner un espace et une base hilbertienne de cet espace, autre que celui du plan.

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Aidant et bienveillant.

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.
Plutôt oui, déçu de ce que j'ai produit mais c'était du à ma faute. Les 3heures sont passés super vite, je n'ai eu le temps de réviser qu'un seul développement, heureusement je connaissais le deuxième par coeur.

Note obtenue : 10.0

Références:

Utilisateur : Agent B0 | Année : 2023

Leçon choisie : 1596

Autre leçon : Séries de nombres réels et complexes. Comportement des restes ou des sommes partielles des séries numériques. Exemples.2026

Développement choisi par le jury : Projection sur un convexe fermé

Autre développement proposé : Pas de réponse fournie.

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
questions du jury : - donnez des exemples d'ensembles convexes dans R^n, C^n, l2(N). - expliquez le nom de l' \"identité du parallélogramme\" - Comment on fait pour projeter un vecteur dans un e.v. de dimension finie quand on a une base non orthonormale, sans l'orthonormaliser ? (Ecrire le système linéaire). - Si on a un sous-e.v. F, et p_F projection orthogonale, que vaut l'adjoint de p_F ? - Est-ce que Pythagore est vrai pour 3 vecteurs ? dessiner un contre-exemple. - Donnez une autre définition de famille totale. - Est-ce qu'il existe des fonctions continues par morceaux sur [0;2pi] telles que leurs coefficients de Fourier réels vérifient an = 1/sqrt(n) ? - On prends une fonction f dans L2_2pi, montrez que la série des (cn(f)/n)e^inx converge normalement sur R/

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Attitude bienveillante, le jury m'a aidé sur certaines questions et m'a bien laissé le temps de réfléchir.

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.
Comme je l'imaginais

Note obtenue : 19.0

Références:

Utilisateur : EWna | Année : 2023

Leçon choisie : 1596

Autre leçon : Séries entières, propriétés de la somme. Exemples et applications.2026

Développement choisi par le jury : Opérateurs de Hilbert-Schmidt, étude et complétude

Autre développement proposé : Pas de réponse fournie.

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
Questions/réponses: <ol type=\"1\"> <li>En quoi les opérateurs de Hilbert-Schmidt sont-ils intéressants en dehors de Thm 39 (opérateurs de Hilbert-Schmidt de L2) ? [Ils sont compacts] </li> <li>Pouvez-vous me donner un exemple non trivial (en dehors de Thm 39) d'opérateur de Hilbert-Schmidt dans l² ? [Tu = (u_n/n²)] </li> <li> <ol type=\"a\"> <li>Oui, ça ça va marcher, intéressons nous de manière plus général aux opérateurs de cette forme-là, pas vraiment un homothétie, mais presque... comment pourriez-vous les qualifier ? [opérateurs diagonal: Tu = (u_n*v_n)_n] </li> <li>Bien, donc soit T un opérateur diagonal, à quel condition celui-ci est-il: <ol type=\"i\"> <li>continu ? [(v_n)_n bornée] </li> <li>compact ? [v_n -> 0 car c'est un opérateur autoadjoint, donc les valeurs propres sont les (v_n)_n, et l'après la théorie spectrale des opérateurs compacts autoadjoints, en dimension infinie, la suite des valeurs propres doit tendre vers 0] </li> <li>de Hilbert-Schmidt ? (i.e. il existe une base hilbertienne telle que Série(||T e_n ||²) converge) ? [(v_n)_n dans l²] </li> <li>Pouvez-vous me donner un exemple d'opérateur compact qui n'est pas de Hilbert-Schmidt ? [v_n = 1/sqrt(n)] </li> </ol> </ol> </li> <li>Dans un espace de Hilbert, tout fermé borné est-il compact ? (Sans Riesz) [non: on prend un base hilbertienne, aucune sous-suite ne peut vérifier la condition de Cauchy d'après le théorème de Pythagore: ||e_n - e_m||² = 2] </li> <li> <ol type=\"a\"> <li>Est-ce qu'il y a d'autres notions de compacité auxquelles vous pouvez penser ? [faible compacité, de toute suite on peut extraire une sous-suite qui converge faiblement, au sens ptt y, <x_n|y> -> <x|y> dans un Hilbert] </li> <li>Est-ce que tous les fermés bornés sont faiblement compacts ? [si (x_n)_n est bornée, alors ptt y, (<x_n|y>)_n aussi: on extrait diagonalement sur une base hilbertienne] </li> </ol> </li> </ol> J'ai un peu paniqué pour mon développement, et j'ai fini par le faire en 10 minutes. Pour combler le temps, j'ai improvisé une preuve supplémentaire, que j'ai complètement raté. On a passé une bonne dizaine de minutes à corriger ce morceau de preuve et quelques détails dans le preuve principale. Ça m'a assez déstabilisé, et le fait qu'on me pose des questions vraiment au bord du programme m'a pas mal perturbé au vu du développement. Quand on présente un sujet un peu de niche comme celui-ci, je conseille très fortement de connaître le contexte qui gravite autour (heureusement c'était mon cas).

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Aidant. Seul l'un des membres du jury m'a posé des question, je pense que je suis tombé sur un spécialiste des opérateurs de Hilbert-Schmidt...

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.
J'ai mis un peu plus de temps qu'à mon habitude pour rédiger mon plan.

Note obtenue : 14.75

Références: