Décomposition des fonctions de Sobolev

Soient $N \in \mathbb{N}^{\ast}$ et $\Omega$ un ouvert borné. On note $H^1 (\Omega, \mathbb{R}^N)$ l'espace de Sobolev des fonctions de carré intégrables sur $\Omega$ de dérivées faibles également de carré intégrable sur $\Omega$. On pose \[ V = \left\{ u \in H^1 (\Omega, \mathbb{R}^N) \ | \ \int_{\Omega} u (x) \mathrm{d} x = \int_{\Omega} (x_i u_j (x) - x_j u_i (x)) \mathrm{d} x = 0 \right\} \] et \[ \operatorname{RM} (\Omega) = \left\{ r : x \longmapsto Ax + b \ | \ A \in \mathcal{A}_N (\mathbb{R}) \text{ et } b \in \mathbb{R}^N \right\}, \] où $\mathcal{A}_N (\mathbb{R})$ est l'ensemble des matrices antisymétriques réelles carrées de taille $N$. Le but de ce développement est de montrer que \[ H^1 (\Omega, \mathbb{R}^N) = V \oplus \operatorname{RM} (\Omega) . \]